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[[File:Uniform circular motion.svg|thumb|200px|圓周運動，藍色的是'''向心加速度''']]
在[[物理學]]中，'''向心加速度'''（{{lang|en|Centripetal Acceleration}}）是一種[[物理量]]，是用來描述一個[[圓周運動]][[物體]]能繞著[[圓形]][[軌道]][[旋轉]]而不會脫離[[圓周運動]]所需的[[加速度]]。通常用<math>a_c</math>（[[拉丁字母]][[小寫字母|小寫]][[a]]下標一個[[c]]）來表示'''向心加速度'''。

一個作[[等速率圓周運動]]的[[質點]]雖然在[[圓周]]上每個[[位置]]的[[速率]]皆相同，但其運動[[方向]]都是沿著各自的[[切線]]方向而有所不同（即[[切向速度]]不相同），因此存在一個[[加速度]]使其可以改變其[[速度]]而維持在原來的圓周運動不至於會脫離原來[[運動]]軌跡，而這[[加速度]]稱作'''向心加速度'''。<ref>基礎物理二B, 姚珩, 翰林出版, P.7, ISBN 978-986-123-889-0</ref>

向心加速度的大小一般由[[向心力]]決定，但有時會因為有[[角加速度]]而有所不同。

另外，向心加速度不一定只存在於圓周運動，只要該加速度可以使曲線運動物體維持當前曲線並持續運動就可稱為向心加速度。尤其是[[簡諧運動]]。
{|class=wikitable
|- align=center
|[[File:Oscillating pendulum.gif|160px]]
|[[File:Acceleration components.JPG|160px]]
|- align=center
|一個[[單擺運動]]，紅色的是[[加速度]]
|一個[[曲線運動]]，標示a<sub>c</sub>的是'''向心加速度'''
|}

== 與其他物理量之關係 ==
在'''向心加速度'''中，與其它[[圓周運動]]相關的[[物理量]]有著密切的相關。在[[圓周運動]]中，'''向心加速度'''存在下面等式:
:<math>a_c = r \omega^2 = v \omega = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{2 \pi v}{T}</math>
其中:
*<math>a_c</math>是'''向心加速度'''
*<math>r</math>是[[圓周運動]]的[[半徑]]
*<math>\omega</math>是[[角速度]]
*<math>v</math>是[[切向速度]]
*<math>T</math>是[[周期]]
*<math>\pi</math>是[[圓周率]]

'''推导过程'''

由加速度的定义式可知<math>a = \frac{\Delta v }{ t} </math>

在圆周运动的轨迹上取两点A和B，过A、B两点做关于圆的切线可得知其运动方向，分别作出两个点的速度向量<math>\overrightarrow{v_1}</math>、<math> \overrightarrow{v_2}</math>，可知<math>\overrightarrow{v_1}\perp OA</math>、<math>\overrightarrow{v_2}\perp OB</math>

将<math>\overrightarrow{v_1}</math>与<math> \overrightarrow{v_2}</math>连接，形成向量三角形<math>A^'B^'D</math>，由前述的垂直关系可得出<math>\vartriangle A^'B^'D \sim \vartriangle OAB</math>，进而得出
<math>\frac{\Delta v}{v}=\frac{\overline {AB}}{r}</math>

<math>\Delta v =\frac{\overline {AB}}{r}\cdot v</math>

<math>a_c = \frac{\overline {AB} \cdot v}{r \cdot t}</math>

在两向量之间的距离趋近于0时，<math>\overline {AB} = \overset{\frown} {AB}</math>

所以<math>\frac{\overline {AB}}{t}=v</math>（[[线速度]]）

<math>a_c = \frac{v^2}{r}</math>

由[[角速度]]定义式<math>\omega = \frac{v}{r}</math>可得<math>a_c = \omega^2 \cdot {r}</math>

== 參見 ==
*[[向心力]]
== 參考文獻 ==
<references/>


[[Category:物理量]]