查看“︁同餘關係”︁的源代码

在[[数学]]特别是[[抽象代数]]中，'''同餘关系'''或简称'''[[同餘]]'''是相容于某个代数运算的[[等价关系]]。

==模算术==

元型例子是[[模算术]]：对于一个正[[整数]]''n''，如果''a'' − ''b''整除于''n''（还有一个等价的条件是它们除以''n''得出同样的餘数），则两个整数''a''和''b''被称为'''同餘模''n'''''。

例如，5和11同餘模3：
:11 ≡ 5 (mod 3)
因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数[[除以3]]得到相同的餘数：
:11 = 3×3 + 2
:5 = 1×3 + 2

如果<math>a_1 \equiv b_1 \pmod n</math>并且<math>a_2 \equiv b_2 \pmod n</math>，则<math>a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n</math>并且<math>a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n</math>。这把同餘(mod ''n'')变成了在所有整数的环上的一个等价。

==线性代数==

两个实数[[矩阵]]''A''和''B''被称为[[合同矩陣|合同]]的，如果存在[[可逆矩阵|可逆]]实数矩阵''P''使得

:<math> P^\top A P = B </math>。

对称矩阵有实数[[特征值]]。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。[[Sylvester惯性定律]]声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵，必须区分“<sup>T</sup>合同”（''A''和''B''是<sup>T</sup>合同，如果有可逆矩阵''P''使得''P''<sup>T</sup>''AP'' = ''B''）和“*合同”（''A''和''B''是*合同，如果有可逆矩阵''P''使得''P''*''AP'' = ''B''）。

==泛代数==

想法是推广到[[泛代数]]中：代数''A''上的同餘关系是[[直积]]''A''×''A''的[[子集]]，它既是在''A''上的[[等价关系]]又是''A''×''A''的[[子代数]]。  

[[同态]]的[[核 (代数)|核]]总是同餘。实际上，所有同餘引起自核。对于给定在''A''上的同餘~，[[等价类]]的集合''A''/~可以自然的方式给出自代数的结构[[商代数]]。映射所有''A''的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同餘关系的[[格 (数学)|格]]是[[代数格]]。

==群的同餘、正规子群和理想==

在[[群]]的特殊情况下，同餘关系可以用基本术语描述为：如果''G''是群（带有[[单位元]]''e''）并且~是在''G''上的[[二元关系]]，则~是同餘只要：
#给定''G''的[[全称量词|任何]]元素''a''，''a'' ~ ''a''（'''[[自反关系]]'''）。
#给定''G''任何的元素''a''和''b''，[[实质蕴涵|如果]]''a'' ~ ''b''，则''b'' ~ ''a''（'''[[对称关系]]'''）。
#给定''G''的任何元素''a'',''b''和''c''，如果''a'' ~ ''b'' [[逻辑合取|并且]]''b'' ~ ''c''，则''a'' ~ ''c''（'''[[传递关系]]'''）。
#给定''G''的任何元素''a'',''a''',''b''和''b' ''，如果''a'' ~ ''a' ''并且''b'' ~ ''b' ''，则''a'' * ''b'' ~ ''a' '' * ''b' ''。
#给定''G''的任何元素''a''和''a' ''，如果''a'' ~ ''a' ''，则''a''<sup>−1</sup> ~ ''a' ''<sup>−1</sup>（这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗餘的）。

条件1, 2和3声称~是[[等价关系]]。

同餘~完全确定自''G''的同餘于单位元的那些元素的集合{''a'' ∈ ''G'' : ''a'' ~ ''e''}，而这个集合是[[正规子群]]。特别是，''a'' ~ ''b''当且仅当''b''<sup>−1</sup> * ''a'' ~ ''e''。所以替代谈论在群上同餘，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同餘都唯一的对应于''G''的某个正规子群。

===环理想和一般情况的核===

类似的技巧允许谈论环中的核为[[理想 (环论)|理想]]来替代同餘关系，在[[模|模理论]]中为[[子模]]来替代同餘关系。

这个技巧不适用于[[幺半群]]，所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

==参见==
* [[合同 (數學)|合同]]
* [[等價關係]]
*[[模]]
*[[模算數]]

==引用==
* Horn and Johnson, ''Matrix Analysis,'' Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）

[[Category:代数|T]]
[[Category:抽象代数|T]]
[[Category:同余]]
[[Category:数学关系]]