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[[数学]]中，'''同调论'''（{{lang|en|homology theory}}）是[[拓扑空间]]“圈的同调”之直觉几何想法的公理化研究。它可以宽泛地定义为研究拓扑空间的[[同调]]理论。

== 简单解释 ==

直觉上，同调是取一个[[等价关系]]，如果[[链 (代数拓扑)|链]] ''C'' - ''D'' 是一个高一维链的边界，则链 ''C'' 与 ''D'' 是同调的。最简单的例子是在[[图论]]中，有 ''C'' 和 ''D'' 两组顶点集，考虑到从 ''P''到 ''Q'' 的[[有向边]] ''E'' 的边缘是 ''Q''-''P''。从 ''D'' 到 ''C'' 的一些边的集合，每一个与前一个相连，是一个同调。

一般的，一个 ''k''-链视为形式组合

:<math>\sum a_i d_i</math>

其中 <math>a_i</math> 是整数而 <math>d_i</math> 是 ''X'' 上的 ''k''-维[[单形]]。这里的边缘取一个单形的边界；它导致一个高维概念，''k''=1 即类似于图论情形中的[[裂项和]]。这个解释是1900年的风格，从技术上讲有些原始。

==以环面为例==

例如，若 ''X'' 是一个二维[[环面]] ''T''，''T'' 上一个一维圈从直觉来说是 ''T'' 中[[曲线]]之线性组合，且这些曲线是闭合的（圈条件，等价于没有边界）。如果 ''C'' 与 ''D'' 是以同样方式绕 ''T'' 一周的圈，则我们可清晰地找出 ''T'' 上一个定向区域其边界是 ''C'' &minus; ''D''。可以证明整系数 1-圈的同调类构成一个有两个生成元的[[自由阿贝尔群]]，他们是绕此环面的两种不同方式。

==十九世纪==

这种层次的理解是十九世纪数学界中的共有性质，源于[[黎曼曲面]]的想法。十九世纪末，[[昂利·庞加莱|庞加莱]]给出了一个更一般但仍基于直觉的背景。

例如，考虑最先由庞加莱于1899年表述的一般[[斯托克斯定理]]：它必须涉及一个积分项（现在我们称为[[微分形式]]）和一个积分区域（一个 ''p''-链），以及两类边缘算子，一个用现代术语是[[外微分]]，另一个是[[链 (数学)|链]]上包含了定向的几何边缘算子，它可用于同调论。这两个算子是关于积分是[[伴随算子]]。

==二十世纪==

粗糙地讲，对同调的几何论证直到二十世纪初才被严格的技术取代。起先时代的特色是使用[[组合拓扑]]（今日[[代数拓扑]]的先驱）。这假设了所处理的空间是[[单纯复形]]，但最感兴趣的空间通常是[[流形]]，故人为的[[三角化]]被引入了这个工具。始创者们比如[[所罗门·莱夫谢茨]]以及[[马斯顿·莫尔斯]]仍更偏好几何方法。组合观点使[[布劳威尔]]能证明比如[[单纯逼近定理]]之类的基本结论，基于同调是一个[[函子]]的想法。布劳威尔使用这个新工具能证明[[复分析]]基础的[[若尔当曲线定理]]，以及[[区域不变性]]；并消除了对拓扑论证的怀疑。

==代数拓扑学==

通常将到“代数”拓扑的转变归功于[[埃米·诺特]]的影响，她坚持同调类属于[[商群]]——这种观点是基本的，现在已经作为定义<ref>{{Harvnb|Hilton|1988|p=284}}</ref>。事实上从1920年以来诺特与她的学生建立了任何环的[[模]]理论，这两种想法融合形成了系数取值于一个环的同调的概念。在此之前，系数（即链是空间上的基本几何链的线性组合的系数）通常是整数、实数或复数，或者有时为模2同余类。在新的情形下，没有理由不取模3同余类，例如：成为一个圈需满足更复杂的几何条件，例如[[图论]]中在每个顶点的边数都是3的倍数。但在代数几何中，定义没有任何新问题。[[万有系数定理]]指出整系数同调决定了所以其它同调理论，但利用了[[张量积]]；这不是止痛剂，在张量积有[[导出函子]]，导致一个一般的表述。

==上同调与奇异同调==

1930年代是[[上同调论]]发展的十年，多个研究方向一起成长，而上面讲过在庞加莱工作中不明确的[[德拉姆上同调]]成为一个清楚的定理。上同调与同调是对偶理论；同时得知同调论，[[单纯同调]]，远非它故事的结束。[[奇异同调]]的定义避开了明显的三角化，其代价是引入无限生成模。

==公理化与异常理论==

从1940年到1960年，代数拓扑迅速地发展，同调论的角色通常作为基本理论，容易计算，拓扑学家用它去计算其它函子。[[塞缪尔·艾伦伯格|艾伦伯格]]与[[诺曼·斯廷罗德|斯廷罗德]]的同调论公理化（[[艾伦伯格-斯廷罗德公理]]）揭示了同调理论的不同候选通常是，粗糙地讲，某些[[正合序列]]特别是[[迈耶-菲托里斯序列]]，以及算出了一个点的同调的维数公理。在拓扑[[K-理论]]与[[配边理论]]中导出的（上）同调，在[[同伦论]]中成为标准的推广到'''异常（上）同调论'''，中维数公里减弱了。他们对 [[CW复形]]范畴容易刻画。

*{{tsl|en|List of cohomology theories|上同调论列表}}

==同调论现状==

对更一般（即不那么良态）的空间，借助于从[[层论]]中的想法得到同调论的许多推广，特别是[[局部紧空间]]的[[博雷尔-穆尔同调]]。

同调论的基本[[链复形]]转置很久以前就成为了[[同调代数]]中独立的一种技巧，并独立地应用于例如[[群上同调]]。从而在数学中不再只有一个同调论，而是有许多同调和上同调论。

==脚注==
{{reflist|2}}
==参考文献==
*{{Cite | last = Hilton | first = Peter | year = 1988 | title = A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century | journal = Mathematics Magazine | volume = 60 | issue = 5 | pages = 282-291 | url = http://www.jstor.org/stable/2689545?origin=JSTOR-pdf | accessdate = 2009-10-17 | archive-date = 2022-03-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220311114745/https://www.jstor.org/stable/2689545?origin=JSTOR-pdf }}

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[[Category:代数拓扑]]