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'''同調代數'''是[[數學]]的一個分支，它研究[[同調]]與[[上同調]]技術的一般框架。

==簡述==
同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到[[代數拓撲]]（單純形同調）與[[抽象代數]]（合衝模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由[[龐加萊]]與[[希爾伯特]]開創。

同調代數的發展與[[範疇論]]的出現密不可分。大致說來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念，它們滿足的[[範疇論]]性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可藉[[鏈複形]]理解，其性質則以同調與上同調的面貌展現，同調代數能萃取這些鏈複形蘊含的資訊，並表之為[[拓撲空間]]、[[層 (數學)|層]]、[[群]]、[[环 (代数)|環]]、[[李代數]]與[[C*-代數]]等等「具體」對象的（上）同調不變量。[[譜序列]]是計算這些量的有力工具。

同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大，目前已遍及[[交換代數]]、[[代數幾何]]、[[代數數論]]、[[表示理論]]、[[算子代數]]、[[偏微分方程]]與[[非交換幾何]]。[[K-理論]]是一門獨立的學科，它也採用同調代數的辦法。

==主要對象：鏈複形==
{{main|鏈複形}}
同調代數領域的基本對象是一個'''鏈複形'''<math>(A_\bullet, d_\bullet)</math>。這是一個由[[交換群]]、[[模]]或更廣義地說是由一個[[阿貝爾範疇]]的對象組成的序列''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>……。它們通過一系列[[同態]]''d''<sub>''n''</sub> : ''A''<sub>''n''</sub>→''A''<sub>''n''-1</sub>相連，使得每兩個連接的映射的合成
為零：對所有''n''有''d''<sub>''n''</sub> o ''d''<sub>''n''+1</sub> = 0（有時逕寫作<math>d^2=0</math>）

::<math>\ldots \to 
A_{n+1} \begin{matrix}  d_{n+1} \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_n     \begin{matrix}  d_n     \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1} \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \to \ldots \to
A_2     \begin{matrix}  d_2     \\ \to \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix}  d_1 \\ \to \\   \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix}  d_0 \\ \to \\  \, \end{matrix} 0</math>。

鏈複形的[[同調群]]定義為：
: <math>H_i(A_\bullet) := \mathrm{Ker}(d_i)/\mathrm{Im}(d_{i+1})</math>

* 同調群皆為零的鏈複形稱作'''正合'''的。
* 兩個鏈複形<math>(A_\bullet, d_{A,\bullet})</math>、<math>(B_\bullet, d_{B,\bullet})</math>之間的'''鏈映射'''是一族同態<math>f_n : A_n \rightarrow B_n</math>，使之滿足：<math> f_n \circ d_{A,n}= d_{B,n} \circ f_{n+1}</math>；全體鏈複形依此構成一[[範疇論|範疇]]。鏈映射誘導出同調群的映射。
* 對鏈映射可以定義[[鏈同倫|同倫]]的概念，這是拓撲學的[[同倫]]在代數框架下的翻譯。同倫的鏈映射在同調群上誘導出相同的映射。
* 在同調群上誘導出同構的鏈映射稱作'''擬同構'''。

鏈複形概念的一個對偶版本是''上鏈複形''。一個'''上鏈複形'''<math>(A^\bullet, d^\bullet)</math>是個序列''A''<sup>0</sup>, ''A''<sup>1</sup>, ''A''<sup>2</sup>……。它們由一系列[[同態]]''d''<sup>''n''</sup> : ''A''<sup>''n''</sup>→''A''<sup>''n''+1</sup>相連，使得任何兩個接連的映射的合成為零：對所有''n''有''d''<sup>''n''+1</sup> o ''d''<sup>''n''</sup> = 0：

::<math>0 \to 
A^0 \begin{matrix} d^0  \\ \to \\  \, \end{matrix}
A^1 \begin{matrix} d^1  \\ \to \\  \, \end{matrix}
A^2  \to \ldots \to
A^{n-1} \begin{matrix}  d^{n-1}     \\ \to \\  \, \end{matrix}
A^n \begin{matrix}  d^n \\ \to \\  \, \end{matrix}
A^{n+1} \to \ldots</math>。

關於鏈複形的種種定義可以照搬至上鏈複形；實質上，我們僅須將原定義中的所有箭頭反轉。例如上鏈複形的[[上同調群]]定義為：
: <math>H^i(A^\bullet) := \mathrm{Ker}(d^i)/\mathrm{Im}(d^{i-1})</math>

形式地說，同調代數可定義為鏈複形與上鏈複形的抽象研究。以下我們將看到它的具體根源。

==溯源==
===代數拓撲學的黎明===
[[File:Torus_cycles.png|thumb|left|150px|環面上的兩種閉曲線，它們都無法表成區域的邊界。]]
同調代數的根源之一在[[代數拓撲]]，而後者的歷史則可上溯至十九世紀中。早在[[黎曼]]關於[[阿貝爾簇]]的工作中，就已考慮過[[黎曼曲面]]上的閉曲線是否為一塊區域的邊界的問題；根據[[斯托克斯定理]]，[[微分形式|閉形式]]在這類閉曲線上的積分恆為零，而這類曲線的多寡顯然牽涉到曲面的拓撲性狀。黎曼依此定義了「連通數」——用現代的語言表述即是<math>1 + \dim H_1(X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>，此量關係到黎曼曲面的[[虧格]]，直觀地理解便是曲面上有幾個「洞」。

[[龐加萊]]在1895年的經典論文''Analysis Situs''及其後續工作真正奠定了代數拓撲學的基礎。他考慮的對象是後來所謂的[[單純複形]]，這類空間在[[同胚]]的意義下可剖分為[[多面體]]，它包含了[[微分拓撲]]中處理的大多數有限維空間。龐加萊考慮一個單純複形<math>X</math>中各種維度的[[單純形]]（零維的點、一維的線、二維的三角形、三維的四面體等等）的整係數線性組合，稱之為'''鏈'''，它們構成一系列的[[阿貝爾群]]<math>C_0(X), C_1(X), C_2(X), \ldots</math>，其中下標代表維度。龐加萊還定義了一個'''邊界映射'''<math>\partial_i: C_i(X) \rightarrow C_{i-1}(X)</math>，它在單純形上的作用是將<math>i</math>維單純形的<math>(i-1)</math>維邊界取適當正負號後作線性組合；彼此差個邊界的鏈在拓撲上稱作'''同調的'''，這也是同調代數的詞源。龐加萊證明<math>\partial_{i-1} \circ \partial_i = 0</math>，於是我們有以下[[鏈複形]]

: <math>\cdots \longrightarrow C_i(X) \stackrel{\partial_i}{\longrightarrow} C_{i-1} \longrightarrow \cdots \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(X) \longrightarrow 0 </math>

定義<math>X</math>的[[貝蒂數]]與[[歐拉示性數]]：
* <math>b_i(X) := \dim \dfrac{\mathrm{Ker}(\partial_i)}{\mathrm{Im}\partial_{i+1}} \otimes \mathbb{Q}</math>
* <math>\chi (X) := \sum_i(-1)^i b_i = \sum_i(-1)^i \dim C_i(X) \otimes \mathbb{Q}</math>

[[File:Octahedron.jpg|thumb|150px|單純複形的例子：八面體，它有6個頂點、12個邊和8個面]]
這兩個量都與空間<math>X</math>的剖分方式無關，僅決定於空間的[[同倫|倫型]]。起初龐加萊只考慮數值不變量；在1925年，[[埃米·诺特]]於一份只有14行的報告中指出：根本的不變量是[[阿貝爾群]]<math>H^i(X) = \mathrm{Ker}(\partial_i)/\mathrm{Im}\partial_{i+1}</math>，而不僅僅是它派生的非負整數<math>b_i = \dim H^i(X) \otimes \mathbb{Q}</math>；群結構能給出更細的拓撲資訊，而空間的[[連續映射]]能導出同調群的同態。代數拓撲的風貌從此遂澈底改變。

循此脈絡，L. Mayer在1929年定義了抽象的[[鏈複形]]及其[[同調群]]。同調理論自此有了純[[抽象代數|代數]]的框架。

隨後十年間，數學家們為各種空間定義了形形色色的同調與上同調，例如在[[德拉姆上同調]]中，我們設<math>\Omega^i(M)</math>為[[光滑流形]]<math>M</math>上的<math>i</math>次[[微分形式]]，同態<math>d^i:  \Omega^i(M) \rightarrow \Omega^{i+1}(M)</math>定義為[[外微分]]。無論哪種理論，對同一空間總是給出相同的同調群；[[塞缪尔·艾伦伯格]]與[[诺曼·斯廷罗德]]在1945年以公理化方法梳理拓撲空間的（上）同調理論，從而證明先前種種理論只是同一個對象的不同面貌。此時同調代數儼然已自成一格了。

此後拓撲學仍不斷為同調代數注入動力，例子包括了：
* [[万有系数定理]]：關係到函子<math>\mathrm{Tor}_1(-,-)</math>與<math>\mathrm{Ext}^1(-,-)</math>。這個定理告訴我們如何從係數為<math>\mathbb Z</math>的（上）同調群決定任意係數的情形。
* [[非球空間]]的上同調群：它們可由基本群的[[群上同調]]算出，這也是一種[[Ext函子]]。
* [[李群]]的上同調群：由其[[李代數]]決定，由此催生了[[李代數上同調]]理論。

===希爾伯特與合衝模===
同調代數的另一條線索可以追溯到十九世紀的顯學[[不變量理論]]與[[大衛·希爾伯特]]。希爾伯特為了研究不變量本身、不變量間的關係、以及關係間的關係……，而考慮[[自由分解]]的問題：設<math>A</math>為[[諾特環]]，<math>M</math>為有限生成的<math>A</math>-模，

'''希爾伯特基底定理'''（1888年）。存在正整數<math>n_0</math>及滿態射<math>\phi_0: A^{n_0} \rightarrow M</math>。

設<math>M_1 := \mathrm{Ker}(\phi_0) </math>，則<math>0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow A^{n_0} \stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} M \longrightarrow 0</math>是<math>M</math>的一個''有限展示''；<math>M_1</math>稱作第一個'''合衝模'''（syzygy）。

另一方面，<math>M_1</math>也是有限生成的，於是存在另一個有限展示
: <math>0 \longrightarrow M_2  \longrightarrow A^{n_1} \stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} M_1 \longrightarrow 0</math>
<math>M_2</math>稱作第二個合衝模。反覆操作遂得到一個<math>A</math>-模的鏈複形：
: <math> \cdots \rightarrow A^{n_i} \rightarrow A^{n_{i-1}} \rightarrow \cdots \rightarrow A^{n_1} \rightarrow A^{n_0} \rightarrow M \rightarrow 0</math>
其中每個同態的核都是前一個同態的像；用現代語言來說，這乃是<math>M</math>的一個[[自由分解]]，長度最短的自由分解稱作極小分解。自由分解的好處在於：自由模的不變量很容易計算，而透過自由分解又能適當地拼合各個<math>A^{n_i}</math>上的資訊，從而推出<math>M</math>的代數性質。這是同調代數的基本技術之一。

'''希爾伯特合衝定理'''（1890年）。上述分解在有限步之內停止；換言之，存在夠大的<math>N</math>使得第<math>N</math>個合衝模<math>M_N</math>是自由模。當<math>k</math>是[[体 (数学)|域]]而<math>A := k[X_1, \ldots, X_n]</math>時，極小分解的長度不大於<math>n</math>。

希爾伯特藉著一個分次版的合衝定理證明了：在同樣條件下，一個有限生成[[分次模]]的[[希爾伯特多項式|希爾伯特函數]]是個多項式；他藉此闡明了不變量的個數對次數的關係。希爾伯特考慮的自由分解是投射分解的特例；在現代的同調代數理論中，[[投射分解]]及[[內射分解]]是定義[[導函子]]的基礎。

當<math>A</math>是[[局部環]]時，極小分解的長度稱作<math>M</math>的[[投射維度]]，它相當於使下式成立的最小整數<math>n</math>：
: <math>\forall N,  i>n, \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^i(M,N) = 0</math>

對所有<math>A</math>-模的投射維度取極大值，得到的數稱為[[同調維度]]；同調維度等於<math>\dim A</math>若且唯若<math>A</math>是[[正則局部環]]；在這個意義下，可以說極小分解反映了幾何性質。合衝模也是[[計算代數幾何]]中的重要方法。

===嘉當-艾倫伯格革命===
[[昂利·嘉當]]與[[塞缪尔·艾伦伯格]]在1956年出版的著作''Homological Algebra''標示了同調代數的成熟。書中的概念與工具影響之深廣，成為各領域數學家們不可須臾離的生活資料。以下舉出數點例子：

* [[投射模]]與[[內射模]]
* [[正合函子|左正合函子]]與[[正合函子|右正合函子]]
* [[投射分解]]與[[內射分解]]，並由此定義一個函子的[[導函子]]。
* 將[[Tor函子]]與[[Ext函子]]分別定義為<math>M \otimes_R -</math>與<math>\mathrm{Hom}_R(-, M)</math>的右導函子與左導函子，並探討了[[同調維度]]。
* 介紹了譜序列，並用以計算Tor與Ext。
* 鏈複形的[[嘉當-艾倫伯格分解]]與[[超上同調]]，可視為[[導範疇]]的濫觴。

一直到1970年代，嘉當與艾倫伯格的著作都是同調代數的聖經，同時期受歡迎的教本還有麦克兰恩的''Homology''，格羅滕迪克的《[[代數幾何基礎]]》與東北論文。

嘉當在1980年接受[[牛津大學]]榮譽博士時，曾用拉丁文寫下這麼一段話：

: ''……utinam intelligere possim rationacinationes pulcherrimas quae e propositione concisa DE QUADRATUM NIHILO EXAEQUARI fluunt……''
: ''但願吾能領會<math>d^2=0</math>此簡潔公式之美妙推論''<ref>見文獻''Methods of Homological Algebra'', Preface</ref>

===格羅滕迪克的東北論文===
{{further|阿貝爾範疇}}
[[亞歷山大·格羅滕迪克]]在1955年左右對[[韋伊猜想]]發生興趣，而真正勾動他的是此猜想的[[韋伊上同調|上同調表述]]；格羅滕迪克為此開始研習同調代數，當時嘉當-艾倫伯格的書尚未出版。嘉當與艾倫伯格僅考慮[[模]]構成的範疇。格羅滕迪克在1956年一封給塞爾的信中寫道：

: ''我了解到，如果能在比模更廣的範疇上制定導函子理論，則可輕易獲得空間的上同調。存在性來自一個一般的判準，而細層將扮演內射模的角色。基本譜序列將成為一些有用且可愛的一般譜序列的特例。但我不確定這在不可分空間上管不管用，而且我也想起你懷疑維度<math>\geq 2</math>時是否存在上同調正合序列。也許這在嘉當-艾倫伯格的書裡多少都有明確表述，但我還無緣一讀。''（1955年2月26日）<ref>  見文獻''Correspondance Grothendieck-Serre'', pp.13-14</ref>

這封信鋪陳了後來所謂''東北論文''<ref name=Tohoku_paper>{{citation|first=A.|last=Grothendieck|authorlink=Alexander Grothendieck|title=Sur quelques points d’algèbre homologique|journal=[[Tôhoku Mathematical Journal]]|volume=9|series=(2)|pages=119–221|year=1957|mr=0102537|url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|doi=10.2748/tmj/1178244839|accessdate=2017-11-06|archive-date=2020-08-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20200820025850/https://www.projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|dead-url=no}}. [http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf English translation] {{Wayback|url=http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf |date=20210225081836 }}</ref>的梗概。空間的上同調係指[[層上同調]]，當時是以Čech上同調或[[細層]]分解定義的；而所謂[[細層]]是一類帶有[[單位分解]]的層，因此只在[[仿緊空間]]（當時稱作可分空間）上有細層分解；這對[[微分幾何]]與[[複幾何]]不成問題，但對一般的[[代數簇]]則是致命缺陷。塞爾回覆道：

:“嘉當-艾倫伯格的書中並未以導函子演繹層上同調（至少在仿緊的情形）。嘉當意識到這個問題，並吩咐Buchsbaum去做，但看來他還沒做出來。主要的興趣應在於找出我們需要的細層性質，依此可以判斷不可分空間上是否有夠多細層（我想答案是否定的，但我一點也不確定！）。”（1955年3月12日）<ref>見文獻''Correspondance Grothendieck-Serre'', p.15</ref>

格羅滕迪克遂著手重寫同調代數的基礎。

這條思路在他於1957年發表於《東北數學雜誌》的論文''Sur quelques points d'algèbre homologique''<ref name=Tohoku_paper></ref>中開花結果。原本區區數頁的簡單定義變為102頁的[[範疇論]]論證，謠傳他因此花了兩年才找到地方刊登；但後續發展證明他的努力與收穫是相稱的。論文提出的重要觀念如下：

* [[阿貝爾範疇]]的公理
* δ-函子與泛δ-函子
* 相對於一個函子的非循環對象：例如仿緊空間上的細層之於截面函子。
* [[格羅滕迪克譜序列]]：涉及如何計算合成函子的導函子，可從此導出嘉當-艾倫伯格書中的許多譜序列與拓撲學中的Leray譜序列。

格羅滕迪克藉此將層上同調化為導函子的特例，[[阿貝爾範疇]]也成為同調代數的標準語言。

===導範疇===
{{further|導範疇}}
[[File:Axiom TR4 (polyhedron).svg|thumb|200px|left|八角形公理圖解，它是[[三角範疇]]最難理解的公理之一。]]
格羅滕迪克在1961年左右面臨一個技術瓶頸：為了為任意概形上的[[凝聚層]]建立對偶定理，必須為同調代數發展新工具。這個任務由他的學生[[讓-路易·韋迪耶]]（{{lang|fr|Jean-Louis Verdier}}）完成了。

Verdier在1967年的博士論文''Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes''中引入了[[三角範疇]]與[[導範疇]]的觀念。約略地說，三角範疇是一種能製造長正合序列與上同調函子的範疇；一個阿貝爾範疇<math>\mathcal{A}</math>上的鏈複形範疇<math>C(\mathcal{A})</math>便是一例。其次，我們等同<math>C(\mathcal{A})</math>中同倫等價的態射，從而得到商範疇<math>K(\mathcal{A})</math>，它仍然具備三角範疇的結構；最後，建構<math>K(\mathcal{A})</math>對[[擬同構]]的[[局部化]]以獲得導範疇<math>D(\mathcal{A})</math>，換言之即是為所有[[擬同構]]添加逆態射。

假設<math>\mathcal{A}</math>有夠多[[內射對象|內射元]]，則在導範疇裡同樣可以定義左正合函子<math>F</math>的右導函子<math>RF(-)</math>，它與古典定義<math>R^n F (-)</math>的關係由下式給出：

: <math>H^n(RF(X)) = R^nF(X)</math>

假設[[正合函子|左正合函子]]<math>G</math>將內射對象映至<math>F</math>的非循環對象，此時[[格羅滕迪克譜序列]]化作格外簡明的形式：

: <math>(R^{+}F) \circ (R^{+}G) = R^{+}(F \circ G) </math>

對右正合函子也有相應的結果。儘管譜序列在導範疇的進路中不是那麼根本，但在具體計算時仍佔一席之地。

Verdier藉這套語言證明了[[Verdier對偶定理]]，這是[[龐加萊對偶定理]]的深遠推廣，適用於任何局部緊有限維[[拓撲空間]]。導範疇的應用仍在不斷擴大中；在[[代數幾何]]之外，導範疇理論的最大成功之一是證明了任意維度的[[黎曼-希爾伯特對應]]。

Verdier的博士論文直到1996年才出版，此前導範疇的第一手資料是由他執筆的''[[SGA]] 4½''末章：''Catégories dérivées (état 0)''。

==單純形法==
龐加萊研究拓撲的方法是將空間剖分為多面體，這時空間的拓撲性質完全決定於這些點、線、面……等等[「單純形」及其間的相交關係。將這套方法抽象化，便可對任何範疇<math>\mathcal{A}</math>定義'''[[單純形對象]]'''（及其對偶'''上單純形對象'''）。在<math>\mathcal{A}</math>為集合範疇的情形特別有用，此時的單純形對象稱為'''單純形集合'''（及其對偶'''上單純形集合'''）。對單純形集合可定義其[[幾何實現]]，這是一個[[CW-複形]]。對於來自一個源自拓撲空間的單純形集合，幾何實現不外是將空間「拼回去」；而對源於代數構造的單純形集，幾何實現則能用以構造[[分類空間]]。在單純形集合上可以抽象地開展[[同倫]]論的研究。

另一方面，若取<math>\mathcal{A}</math>為一[[阿貝爾範疇]]，對任一單純形對象<math>A</math>皆可定義一個[[鏈複形]]<math>N(A)</math>。此時單純形對象與鏈複形的關係由以下定理闡明：

'''Dold-Kan對應定理'''（1957年）。函子<math>N</math>給出範疇間的等價
: {<math>\mathcal{A}</math>中的單純形對象} <math>\stackrel{\sim}{\longrightarrow}  \mathcal{C}^+(\mathcal{A}) := </math> { <math>\mathcal{A}</math>上的鏈複形<math>C_n</math>，並滿足<math>n <0 \Rightarrow C_n=0</math> }

透過這個對應，單純形集合理論可助同調代數一臂之力，例如我們可藉此定義更廣義的導函子，或得到某類對象的典範分解。

==非交換理論==
源於[[同調論]]的古典同調代數只給出「可交換」的資訊。對於空間<math>X</math>上的非交換群層<math>G</math>，古典方法只能定義第一個上同調<math>H^1(X;G)</math>；這個集合分類了<math>X</math>上的[[扭子]]。數學家們嘗試定義高階的非交換上同調，這方面的理論常牽涉到同倫理論、單純形集合，或者高階的[[範疇論]]（如[[疊 (數學)|疊論]]）。

==同調代數與同倫代數==
就[[模型範疇]]的觀點，同調代數可被視為同倫理論的一支。這是Daniel Quillen將模型範疇理論稱作[[同倫代數]]的原因
。

==參考資料==
<references/>

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20080227011436/http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mclarty1.pdf Colin McLarty, ''The Rising Sea: Grotendieck on simplicity and generality I]
* [https://web.archive.org/web/20061002142441/http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mclarty2.pdf Colin MacLarty, ''Emmy Noether's Set-Theoretic Topology: From Dedekind to the first functors'']
* [https://web.archive.org/web/20060913194213/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/history.dvi Charles Weibel, ''A History of Homological Algebra'']
* {{springer|id=H/h047710|author=V.E. Govorov A.V. Mikhalev|title=Homological Algebra}}

==文獻==
* Henri Cartan, Samuel Eilenberg, ''Homological algebra''. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
* Deligne, Pierre; ed.  ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale -（SGA 4½）''（1977）, Lecture notes in mathematics 569), Berlin; New York: Springer-Verlag, iv+312. 
* Alexander Grothendieck, ''Sur quelques points d'algèbre homologique''. Tôhoku Math. J.（2）9, 1957, 119--221
* Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, ''Methods of homological algebra''. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
* Weibel, Charles A., ''An introduction to homological algebra''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1
* Verdier, Jean-Louis, ''Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes''（1996）,  Astérisque 239.  

{{Authority control}}
[[Category:同調代數|T]]
[[Category:抽象代數|T]]
[[Category:代數拓撲|T]]