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[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|著有《一般拓扑学》一書的數學家[[約翰·L·凱利]]曾說：拓撲學家為不知甜甜圈與咖啡杯之分別者。]]

在[[拓扑学]]中，'''同胚'''（{{lang-en|Homeomorphism}}）是两个[[拓扑空间]]之间的[[连续函数|双连续函数]]。同胚是[[拓扑空间范畴]]中的[[同构]]；也就是说，它们是保持给定空间的所有[[拓扑性质]]的[[映射]]。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为'''同胚的'''，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

拓扑空间是一个[[几何]]物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，[[正方形]]和[[圆]]是同胚的，但[[球面]]和[[环面]]就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈，这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状（见图）。

== 定义 ==
如果两个[[拓扑空间]]{''X'',''T<sub>X</sub>''}和{''Y'',''T<sub>Y</sub>''}之间的[[函数]]''f'' : ''X'' → ''Y''具有下列性质：

* ''f''是双射（[[单射]]和[[满射]]）；
* ''f''是[[连续函数 (拓扑学)|连续]]的；
* [[反函数]]''f''<sup>−1</sup>也是连续的（f是[[开映射]]）。

则称{''X'',''T<sub>X</sub>''}和{''Y'',''T<sub>Y</sub>''}'''同胚'''，它满足以上三个性质的函数有时称为'''双连续'''。'''自同胚'''就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的[[类 (数学)|类]]上的[[等价关系]]。所得到的[[等价类]]称为'''同胚类'''。

== 例子 ==
[[File:Trefoil knot arb.png|thumb|right|240px|[[三叶结]]与圆环同胚。虽然这表面上不合理，但是在[[四维空间]]中很容易把三叶结连续变形成一个圆。]]
* '''R'''<sup>2</sup>内的单位[[圆盘]]D<sup>2</sup>和[[单位正方形]]是同胚的。 

* [[开区间]](−1, 1)与[[实直线]]'''R'''同胚。

* [[积拓扑|积空间]][[球面|S<sup>1</sup>]] × S<sup>1</sup>与二维[[环面]]同胚。

* 每一个[[一致同构]]和[[等距同构]]都是同胚。

* 任何二维[[球面]]去掉一个点都与'''R'''<sup>2</sup>中的所有点所组成的集合（二维[[平面 (数学)|平面]]）同胚。

* 设<math>A</math>为一个有单位的[[交换环]]，并设<math>S</math>为<math>A</math>的乘法子集。那么Spec <math>(A_S)</math>与<math> \{ p \in \textrm{Spec } A : p \cap S = \emptyset \} </math>同胚。

* 当<math>n\neq m</math>时，<math>\mathbb{R}^{n}</math>不与<math>\mathbb{R}^{m}</math>同胚。

* 一个连续和双射但不是同胚的函数的例子，是把半开区间<math>[0,1)</math>缠绕到圆上的映射。在这个情况中，逆映射虽然存在，但不是连续的。

== 性质 ==
* 同胚是[[拓扑空间范畴]]中的[[同构]]。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚''X'' → ''X''形成了一个[[群]]，称为''X''的'''[[自同胚群]]'''，通常记为Homeo(''X'')。

* 两个同胚的空间具有相同的[[拓扑性质]]。例如，如果其中一个是[[紧空间]]，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是[[连通空间]]，那么另外一个也是连通空间，等等。然而，这不能推广到通过[[度量空间|度量]]所定义的性质；如果两个度量空间是同胚的，那么仍然有可能其中一个是[[完备度量空间|完备]]的，而另外一个不是。

* 同胚既是[[开映射]]又是[[闭映射]]，也就是说，它把[[开集]]映射到开集，把[[闭集]]映射到闭集。

* 每一个<math>S^1</math>的自同胚都可以延伸到整个圆盘<math>D^2</math>的自同胚。

==注释==
{{reflist}}

== 参见 ==
*[[局部同胚]]
*[[微分同胚]]
*[[一致同构]]（[[一致空间]]的同构）
*[[等距同构]]（[[度量空间]]的同构）
*[[同胚 (图论)]]（与图的[[剖分 (圖論)|剖分]]有密切联系）
*[[同痕]]
*[[映射类群]]

== 外部链接 ==
*{{planetmath reference|id=912|title=Homeomorphism|urlname=Homeomorphism}}

{{Authority control}}
[[Category:拓扑学|T]]
[[Category:同胚|T]]