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在[[數學]]中，'''同倫群'''是[[拓撲空間]]的一種[[同倫]]不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對[[球面]] <math>S^n</math> 的情形，至今也沒有完整結果。

==定義==
設 <math>X</math> 為拓撲空間而 <math>S^n</math> 為 <math>n</math> 維[[球面]]。選定基點 <math>a \in S^n, x \in X</math>。定義 <math>\pi_n(X,x)</math> 為 <math>[S^n, X]</math>，也就是由保持基點的[[連續函數|連續映射]] <math>f: S^n \to X</math> 的[[同倫]]類構成的集合。為了方便起見，以[[緯垂]]坐標表示球面上的點，即：<math>s_1 \wedge \cdots \wedge s_n</math> 表示 <math>(s_1, \ldots, s_n) \in [0,1]^n</math> 在商映射 <math>[0,1]^n \to [0,1]^n/\partial ([0,1]^n) \simeq S^n</math> 下的像。取 <math>S^n</math> 的基點為 <math>a = 0 \wedge \cdots \wedge 0</math>。


注意到當 <math>n=0</math> 時，<math>S^0 = \{-1,1 \}</math> 而 <math>\pi_0(X,x)</math> 的元素一一對應到  <math>X</math> 的連通分支。

[[File:Homotopy group addition.svg|thumb|220px|基本群的群運算]]
對於 <math>n \geq 1</math>，<math>\pi_n(X,x)</math> 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：
: <math>s: S^n \to S^n \vee S^n </math>
在此 <math>S^n \vee S^n</math> 定義為將兩份 <math>S^n</math> 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 <math>s</math> 定義為
: <math>s(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n) = \begin{cases} x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (1 - 2x_n), & x_n \leq \frac{1}{2} \\ x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (2x_n - 1), & x_n \geq \frac{1}{2} \end{cases} </math>
直觀來看，<math>s</math> 的效應相當於將球面 <math>S^n</math> 沿[[赤道]]掐扁。

給定 <math>f,g : I^n \to X</math>，我們定義 <math>f * g := (f \sqcup g) \circ s</math>，由於 <math>f(a)=g(a)=x</math>，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 <math>f * g</math> 僅依賴於 <math>f,g</math> 的同倫類。

可以證明運算 <math>f,g \mapsto f*g</math> 滿足[[群]]公理，其單位元素為常值映射 <math>\forall s \in S^n, \; e(s) = x</math>。<math>\pi_1(X,x)</math> 不外就是[[基本群]]；而當 <math>n \geq 2</math> 時，<math>\pi_n(X,x)</math> 是[[阿貝爾群]]，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 <math>[S^n, X]</math> 等同於 <math>\pi_n(X,x)</math> 在 <math>\pi_1(X,x)</math> 作用下的軌道集。可見若 <math>\pi_1(X,x) \neq 0</math>，<math>[S^n,X]</math> 未必有自然的群結構。

==纖維化導出長正合序列==
設 <math>p: E \to B</math> 為保基點的[[塞爾纖維化]]，纖維的同倫類定義為 <math>F</math>。此時可導出同倫群的[[長正合序列]]（以下略去基點）：
: <math> \cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_0(E) \to \pi(B) \to 1</math>

儘管這裡的 <math>\pi_0</math> 只是個集合，而 <math>\pi_1</math> 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（<math>\pi_{n \geq 1}</math> 的單位元、<math>\pi_0</math> 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

==相對同倫群==
給定 <math>A \subset X</math>，可以定義'''相對同倫群''' <math>\pi_n(X,A)</math> 為映射 <math>f: (D^n, S^{n-1}) \to (X,x)</math> 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 <math>f(S^{n-1}) = x</math> 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 <math>A</math> 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

==文獻==
{{reflist}}

* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | title=Algebraic topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002 | accessdate=2008-04-15 | archive-date=2012-02-20 | archive-url=https://www.webcitation.org/65a3b1JDI?url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url=no }}

[[Category:同伦论]]
[[Category:群论]]

[[cs:Homotopická grupa]]