查看“︁同倫範疇”︁的源代码

在[[數學]]的[[拓撲學]]領域中，'''同倫範疇'''是處理[[同倫]]問題時格外便利的[[範疇論]]語言。它的對象是[[拓撲空間]]，態射是[[連續映射|連續函數]]的同倫類，這是[[商範疇]]的一個例子；由於同倫關係在映射的合成下不變，同倫範疇的定義是明確的。所有拓撲空間構成的同倫範疇通常記為 <math>\mathbf{hTop}</math> 或 <math>\mathbf{Toph}</math>；有時也會考慮較小一類的空間，例如[[緊生成豪斯多夫空間]]或[[CW複形]]。

兩空間在同倫範疇中同構的[[充要條件]]是它們[[同倫等價]]。

設 <math>X, Y</math> 為拓撲空間，它們在同倫範疇中的態射集記為 <math>[X, Y]</math>。同倫理論的基本課題之一便是研究 <math>[X,Y]</math>，例如當 <math>X, Y</math> 是球面時，<math>[X,Y]</math> 的計算就歸結到[[同倫群]]的計算。

==基點==
在應用上，我們常須考慮空間中的特定一點，稱為該空間的'''基點'''。指定了基點的拓撲空間稱為[[帶基點的空間]]。嚴格而言，同倫群（例如[[基本群]]）的定義依賴於基點，不同的選擇會差一個[[同構]]。

我們可以考慮帶點空間構成的範疇，其對象為 <math>(X,x)</math>（<math>x \in X</math>），態射 <math>f: (X,x) \to (Y,y)</math> 為滿足 <math>f(x)=y</math> 的連續映射。同理，可以定義帶點映射之間的同倫 <math>h: X \times I \to Y</math> 為滿足 <math>h(x,t) = y</math> 的同倫。由此得到的商範疇稱為'''帶點同倫範疇'''，常記為 <math>\mathbf{hTop}_\bullet</math>，態射集記為 <math>[X,Y]_\bullet</math>。

在處理帶基點的空間時，空間的積與不交并都要作相應的改變。

==同倫理論==
同倫理論中有一些適用於所有空間的一般結果，但隨著理論漸深，往往需要考慮更小的一類空間。[[CW複形]]適用於大部份的問題，它的好處之一體現於[[布朗表示定理]]，缺陷則在於CW複形之間的函數空間不一定是CW複形，針對後者，[[緊生成豪斯多夫空間]]更富彈性，它包括了所有CW複形、[[局部緊空間]]與第一可數空間（例如[[度量空間]]）。

近來同倫理論發展的一個里程碑是[[譜 (同倫理論)|譜]]空間，這可以說是一種適用於拓撲學的[[導範疇]]觀念。以[[模型範疇]]的方法也可以定義譜，這推廣了拓撲空間的情形，但較為抽象。

==文獻==
* J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'' (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9

[[Category:范畴论中的范畴]]
[[Category:同伦论]]