查看“︁同倫”︁的源代码

{{Refimprove|time=2018-09-14}}

{{noteTA
|G1=Math
}}
[[File:HomotopySmall.gif|thumb|right|图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。]]
'''同伦'''（{{lang-en|Homotopic}}{{notetag|源自{{lang-el|ὁμός homós}}，意为“相同，相似的”与{{lang-el|τόπος tópos}}，意为“方位”}}）在數學和[[拓撲學]]上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在[[拓扑空间]]之间的[[连续函数]]，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为'''同伦的'''。这样的形变称为两个函数之间的'''同伦'''。同伦的一个重要的应用是[[同倫群]]和{{tsl|en|Cohomotopy group|上同伦群}}的定义，它们是[[代数拓扑]]中重要的{{tsl|en|Invariant (mathematics)|不变量(数学)|不变量}}。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用[[紧生成空间]]、[[CW复形]]或{{tsl|en|Spectrum_(topology)|谱 (拓扑学)|谱}}。

== 定义 ==
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|250px|两个将[[环面]]映射到''R''<sup>3</sup>的[[嵌入 (数学)|嵌入]]之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个[[#同痕|同痕]]的例子。]]
給定兩個[[拓撲空間]] <math>X \,\!</math> 和 <math>Y \,\!</math>。考慮兩個[[連續函數]] <math>f , \, g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math>，若存在一個定义在空间 ''X'' 与[[单位区间]] [0,1] 的积空间上的''連續''映射 <math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math> 使得：
* <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
* <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>

則稱<math>H</math>是 <math>f, \,g</math>之间的一个同倫<ref name="Intro2Topo">{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/644064114|title=拓扑学基础及应用|last=Colin|first=Adams|last2=Robert|first2=Franzosa|last3=沈以淡|date=2010年4月1日|publisher=机械工业出版社|year=2010|isbn=9787111288091|location=北京|pages=|chapter=第9章 同伦与度理论|oclc=644064114}}</ref>{{Rp|183}}。

如果我们将 ''H'' 的第二个[[参数]]当作时间，这样 ''H'' 相当于描述了一个从 ''f'' 到 ''g'' 的''连续形变''：0 时刻我们得到函数''f''，1 时刻我们得到函数 ''g''。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 ''f'' 平滑地转变为函数 ''g''，反之亦然。

另一種觀點是：對每個<math>x \in X \,\!</math>，函數 <math>H \,\!</math> 定義一條連接 <math>f(x) \,\!</math> 與 <math>g(x) \,\!</math>的路徑：
:<math>\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!</math>

右侧的循环动画展示了两个嵌入{{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}中的环面之间的同伦。''X'' 是环面，''Y'' 是 {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}。''f，g'' 是从环面到
''R''<sup>3</sup>的连续函数，当动画开始时，''f'' 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。''g'' 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了''h<sub>t</sub>''(''x'')作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

=== 性质 ===
当且仅当存在同伦 ''H'' 将 ''f'' 变换为 ''g''时，称连续函数 ''f'' 和 ''g'' 是同伦的。同伦是 ''X'' 到 ''Y'' 上所有的连续函数之间的一种[[等价关系]]<ref name="Intro2Topo" />{{Rp|184}}。以下情形中，同伦关系满足[[复合函数|函数的复合]]：

如果 {{nowrap|1=''f''<sub>1</sub>, ''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Y''}} 是同伦的，并且 {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub>, ''g''<sub>2</sub> : ''Y'' → ''Z''}} 是同伦的，则他们的复合 {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub> ∘ ''f''<sub>1</sub>}} 与 {{nowrap|1=''g''<sub>2</sub> ∘ ''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Z''}} 也是同伦的。

== 例子 ==
''例一''：取 <math>X = \R \,\!</math>, <math>Y = \R \,\!</math>, <math>f(x) = 1 \,\!</math> 及 <math>g(x) = -1 \,\!</math>。則<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math> 透過下述函數在 <math>Y \,\!</math> 中同倫。
:<math>H(x,t) = 1 - 2t \,\!</math> 
:（注意到此例子不依賴於變數 <math>x</math>，通常並非如此。）

:'''註'''：「在<math>Y</math>中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將<math>Y = \R \,\! </math>代為子空間<math>Y' = \R^* \,\!</math>，則雖然<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math>仍取值在<math>Y' \,\!</math>，但此時它們並不同倫。此點可藉[[中間值定理]]驗證。


''例二''：取<math>X = [0,1] \,\!</math>,<math>Y = \mathbb{C} \,\!</math>,<math>f(x) = e^{2i \pi x} \,\!</math> 及 <math>g(x) = 0 \,\!</math>。则<math>f \,\!</math>描繪一個以原點為圓心的單位圓； <math>g \,\!</math>停在原點。<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math> 透過下述連續函數同倫：
:<math>H(x,t) = (1-t)e^{2i \pi x} \,\!</math>

:幾何上來看，對每個值<math>t \,\!</math>，函數<math>h_t(x)=H(x,t) \,\!</math>描繪一個以原點為圓心，半徑 <math>1-t</math> 的圓。

==相對同倫==
為定義高階[[基本群]]，必須考慮相對於一個''子空間''的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設<math>f,g: X \rightarrow Y</math>是連續函數，固定子空間 <math>K \subset X</math>；若存在前述同倫映射 <math>H: X \times [0,1] \rightarrow Y</math>，滿足：
* <math>H(x,0) = f(x), H(x,1) = g(x)</math>
* <math>\forall k \in K \; H(k,t) = f(k) = g(k)</math>
則稱 <math>f, g</math> 相對於 <math>K</math> 同倫。若取 <math>K=\emptyset</math>，則回到原先的同倫定義。

==空間的同倫等價==
給定兩個拓撲空間<math>E \,\!</math> 與 <math>F \,\!</math>，我們稱之'''同倫等價'''（或稱具'''相同倫型'''），当且仅当存在兩個連續映射<math>f \, : \, E \rightarrow F \,\!</math>與<math>g \, : \, F \rightarrow E \,\!</math>，使得：
* <math>g \circ f \,\!</math> 同倫到 <math>E \,\!</math> 的恆等映射 <math>\mathrm{id}_E</math>。
* <math>f \circ g \,\!</math> 同倫到 <math>F \,\!</math> 的恆等映射 <math>\mathrm{id}_F</math>。

[[同胚]]蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

''例三''：
* 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到<math>\mathbb{C}^* \,\!</math>，即去掉一點的平面。
* 線段<math>[a,b] \,\!</math>、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多[[代數拓撲學]]裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：[[單連通]]、[[同調群]]及[[上同調群]]等等。

==同痕==
'''同痕（Isotopy）'''是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數<math>f \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 和 <math>g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 是[[嵌入 (数学)|嵌入]]，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此：<math>f \,\!</math> 與 <math>g \,\!</math>被稱為同痕的，若且唯若存在''連續''映射<math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math>使之滿足：
* <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
* <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>
* 對所有<math>t \in [0,1] \,\!</math>，映射<math>h_t(x) = H(x,t) \,\!</math>是個嵌入映射。

同痕的概念在[[紐結理論]]中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

==注释==
{{notefoot}}
==参考==
{{reflist}}

==參見==
* {{tsl|en|Homeotopy}}
* [[庞加莱猜想]]
* [[同倫範疇]]
* [[同伦类型论]]
* {{tsl|en|Fiber-homotopy equivalence|纤维-同伦等价}}
* {{tsl|en|Mapping class group|映射类群}}
* {{tsl|en|Regular homotopy|正则同伦}}

{{Authority control}}
[[Category:拓撲學|T]]
[[Category:连续映射|T]]
[[Category:同伦论|*]]