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在[[拓扑学]]和相关的[[数学]]领域中，'''吉洪诺夫空间'''或'''完全正则空间'''是特定优良种类的[[拓扑空间]]。这些条件是[[分离公理]]的个例。

吉洪诺夫空间得名于[[安德列·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫]]。
== 定义 ==

假定 ''X'' 是拓扑空间。

''X'' 是'''完全正则空间'''，[[当且仅当]]给定任何[[闭集]] ''F'' 和任何不属于 ''F'' 的[[点]] ''x''，存在从 ''X'' 到[[实直线]] '''R''' 的[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]] ''f'' 使得 ''f''(''x'') 为 0 和 ''f''(''y'') 为 1 对于所有 ''F'' 中的 ''y''。用“空想家”术语来说，这个条件声称 ''x'' 和 ''F'' 可以[[分离集合|由函数分离]]。

''X'' 是'''吉洪诺夫空间'''或 '''T<sub>3½</sub> 空间'''或 '''T<sub>π</sub>空间'''或'''完全 T<sub>3</sub> 空间'''，当且仅当它是完全正则空间和[[豪斯多夫空间]]二者。

注意某些数学文献对术语“完全正则”和涉及“T”的术语使用了不同的定义。我们这里给出的定义是今天最常用；但是某些作者切换了两类术语的意义，或者把它们用做同一个条件的同义词。在这里，我们直率的使用术语“完全正则”和“吉洪诺夫”，但避免不太明晰的术语“T”。在其他文献中，你应该仔细找出作者使用的是什么术语。(短语“完全正则豪斯多夫”总是无歧义的意味着吉洪诺夫空间。)更多详情可参见[[分离公理的历史]]。

完全正则空间和吉洪诺夫空间通过[[柯尔莫果洛夫商]]关联起来的。拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它是完全正则空间和[[柯尔莫果洛夫空间|T<sub>0</sub> 空间]]二者。在另一方面，一个空间是完全正则空间，当且仅当它的[[柯尔莫果洛夫商]]是吉洪诺夫空间。

== 例子和反例 ==

在[[数学分析]]中研究的几乎所有拓扑空间都是吉洪诺夫空间，或至少是完全正则空间。例如，[[实直线]]是在标准[[欧几里德拓扑]]下的吉洪诺夫空间。其他例子包括:

* 所有[[度量空间]]是吉洪诺夫空间；所有[[伪度量空间]]是完全正则空间。
* 所有[[局部紧致]][[正则空间]]是完全正则的，因此所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间。
* 特别是，所有[[拓扑流形]]是吉洪诺夫空间。
* 所有[[全序集合]]带有[[序拓扑]]是吉洪诺夫空间。
* 所有[[拓扑群]]是完全正则空间。
* 推广了度量空间和拓扑群二者，所有[[一致空间]]都是完全正则的。反过来也是真的: 所有完全正则空间是可一致化的。
* 所有[[CW复形]]是吉洪诺夫空间。
* 所有[[正规空间|正规]]正则空间是完全正则的，而所有正规豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间。
* [[Niemytzki平面]]是吉洪诺夫空间但非[[正规空间]]的一个例子。

== 性质 ==

===保持===

完全正则性和吉洪诺夫性质关于[[始拓扑]]是表现良好的。特别是，选取任意始拓扑保持完全正则性，选取点分离始拓扑保持吉洪诺夫性质。可得出:
* 所有完全正则空间或吉洪诺夫空间的[[子空间 (拓扑学)|子空间]]都有相同的性质。
* 非空[[乘积空间]]是完全正则(或吉洪诺夫的)，当且仅当每个函子空间是完全正则(或吉洪诺夫的)。

类似所有分离公理，选取[[终拓扑]]不保持完全正则性。特别是，完全正则空间的[[商空间]]不必须是[[正则空间]]。吉洪诺夫空间的商空间甚至不必须是[[豪斯多夫空间]]。有 [[Moore平面]]的闭合商作为反例。

===实数值连续函数===

对于任何拓扑空间 ''X''，设 ''C''(''X'') 指示在 ''X'' 上的实数值[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]族，并设 ''C''*(''X'') 是[[有界函数|有界]]实数值函数的子集。

完全正则空间可以特征化为它们的拓扑完全确定自 ''C''(''X'') 或 ''C''*(''X'') 的性质。特别是:

*空间 ''X'' 是完全正则的，当且仅当它有引发自 ''C''(''X'') 或 ''C''*(''X'') 的[[始拓扑]]。
*空间 ''X'' 是完全正则的，当且仅当所有闭集可以被写为 ''X'' 中[[零集合]]族的交集(就是说零集合形成给 ''X'' 的闭集的基)。
*空间 ''X'' 是完全正则的，当且仅当 ''X'' 的[[余零集合]]形成 ''X'' 的拓扑的[[基 (拓扑学)|基]]。

给定任意拓扑空间 (''X'', τ) 有一种普遍方式对 (''X'', τ) 关联上一个完全正则空间。设 ρ 是在引发自 ''C''<sub>τ</sub>(''X'') 的 ''X'' 上的始拓扑，或等价的说，从 (''X'', τ) 中的余零集合的基生成的拓扑。则 ρ 将是比 τ 粗的 ''X'' 上的[[最细拓扑|最细]]完全正则拓扑。这种构造是[[泛性质|普遍性]]的，在任何到完全正则空间 ''Y'' 的连续函数
:<math>f:(X,\tau)\to Y</math>
都将在 (''X'', ρ) 上连续的意义上。用[[范畴论]]的语言，从 (''X'', τ) 到 (''X'', ρ) 的[[函子]][[左伴随]]于包含函子 '''CReg''' &rarr; '''Top'''。因此完全正则空间的范畴 '''CReg''' 是[[拓扑空间范畴]] '''Top''' 的[[反射子范畴]]。通过选取[[柯尔莫果洛夫商]]，可以看出吉洪诺夫空间的子范畴也是反射的。

可以证明在上述构造中 ''C''<sub>τ</sub>(''X'') = ''C''<sub>ρ</sub>(''X'')，所以环 ''C''(''X'') 和 ''C''*(''X'') 典型的只在完全正则空间 ''X'' 中研究。

===嵌入===

吉洪诺夫空间完全就是那些可以[[嵌入 (数学)|嵌入]]到[[紧致豪斯多夫空间]]内的空间。更精确地说，对于所有吉洪诺夫空间  ''X''，存在紧致豪斯多夫空间 ''K'' 使得 ''X'' [[同胚]]于 ''K'' 的一个子空间。

事实上，你总是可以选择 ''K'' 为[[立方体]] (就是说，[[单位区间]]的可能无限乘积)。所有立方体都是紧致豪斯多夫空间是[[吉洪诺夫定理]]的一个结论。因为所有紧致豪斯多夫空间的子空间都是吉洪诺夫空间，所以:

:拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它可以被嵌入一个立方体中。

===紧致化===

特别有趣的嵌入是''X'' 的像是 ''K'' 中的[[稠密集]]；这叫做 ''X'' 的豪斯多夫[[紧致化]]。给定任何吉洪诺夫空间 ''X'' 到紧致豪斯多夫空间 ''K'' 的嵌入， ''X'' 在 ''K'' 中的像的[[闭包]]是 ''X'' 的紧致化。

在豪斯多夫紧致化中，有一个唯一“最一般”的，[[斯通–切赫紧致化]] β''X''。它由如下[[泛性质]]刻画，给定从 ''X'' 到任何其他紧致豪斯多夫空间 ''Y'' 的连续映射 ''f''，有一个唯一的从 β''X'' 到 ''Y'' 连续映射 ''g'' 扩张 ''f''，在 ''f'' 是 ''g'' 和 ''j'' 的[[函数复合|复合]]意义上。

===一致结构===

完全正则性正好是在拓扑空间上存在[[一致结构]]的必需条件。换句话说，所有[[一致空间]]都有完全正则拓扑，而所有完全正则空间 ''X'' 是[[可一致化空间]]。拓扑空间允许分离的一致结构当且仅当它是吉洪诺夫空间。

给定完全正则空间 ''X'' 通常存在多于一个 ''X'' 上的一致结构相容于 ''X'' 的拓扑。但是，总是有最细一致结构，叫做 ''X'' 的[[精细一致结构]]。如果 ''X'' 是吉洪诺夫空间，则可以选择一致结构使得 β''X'' 成为一致空间 ''X'' 的[[完备空间|完全]]。

==參考文獻==
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* Stephen Willard, ''General Topology'', (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. 
* Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings of continuous functions. Reprint of the 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp
{{refend}}

{{点集拓扑}}
[[Category:分离公理]]