查看“︁司徒頓t分布”︁的源代码

{{noteTA
|T=zh-hans:学生t-分布; zh-tw:司徒頓t分布;
|G1=Math
|1=zh-cn:学生;zh-tw:司徒頓;zh:學生;
|2=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數;
|3= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩;
|4= zh-hans:在线; zh-tw:線上;
|5=zh-tw:高斯特;zh-cn:戈塞;zh-hk:戈塞;
}}
{{機率分佈
|name = 学生''t'' 分布
|type = 密度
|pdf_image = [[File:TStudent.png|325px|概率密度函数]]
|cdf_image = [[File:T_distributionCDF.png|325px|累积分布函数]]
|parameters =<math>\nu > 0\!</math>自由度
|support = <math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
|pdf = <math>\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)\,(1+x^2/\nu)^{(\nu+1)/2}}\!</math>
|cdf =<math>\frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (\nu+1)/2 \right) \,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(\nu+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\nu/2)}</math>其中：<math>\,_2F_1 </math>是[[超几何函数]]
|mean =<math>\nu>1</math>时为<math>0</math>，<math>\nu=1</math>时未定义
|median =<math>0</math>
|mode =<math>0</math>
|variance =<math>\nu>2</math>时为<math>\frac{\nu}{\nu-2}\!</math>，否则为无穷大
|skewness =<math>\nu>3</math>时为<math>0</math>
|kurtosis =<math>\nu>4</math>时为<math>\frac{6}{\nu-4}\!</math>
|entropy =<math>\begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+\nu}{2}) 
               - \psi(\frac{\nu}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}</math>
* <math>\psi</math>: [[双Γ函数]], 
* <math>B</math>: [[贝塔函数]]
|mgf =未定义
|char =<math>\frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0</math>
* <math>K_{\nu}(x)</math>: [[贝塞尔函数|第二类修正貝塞爾函數]]
}}
'''学生t分布'''（Student's ''t''-distribution），簡稱'''''t'' 分布'''，在[[機率論]]及[[统计学]]中用于根据小样本來估計母體呈[[常態分布]]且[[標準差]]未知的[[期望值]]。若母體標準差已知，或是样本数足够大时（依據[[中央極限定理]]漸進[[常態分布]]），则应使用常態分布來進行估計。其為对两个样本期望值差异进行[[显著性差异|显著性]]测试的[[司徒頓t檢定]]之基础。

司徒頓''t'' 檢定改進了[[Z檢定]]（{{lang|en|Z-test}}），因為在小樣本中，Z檢定以母體[[標準差]]已知為前提，Z檢定用在小樣本會產生很大的誤差，因此必須改用学生''t'' 檢定以求準確。但若在樣本數足夠大（普遍認為超過30個即足夠）時，可依據[[中央極限定理]]近似常態分布，以Z檢定來求得近似值，

在母體標準差數未知的情況下，不論樣本數量大或小皆可應用''t''檢定。在待比較的數據有三組以上時，因為誤差無法被壓低，此時可以用[[變異數分析]]（ANOVA）代替''t''檢定。

''t'' 分布的推导最早由德國大地测量学家{{tsl|en|Friedrich Robert Helmert|弗里德里希·羅伯特·赫爾默特}}于1876年提出，并由德國数学家{{tsl|en|Jacob Lüroth|雅各布·魯洛斯}}证明。<ref>{{Cite journal|first1=J.|last1=Pfanzagl| first2=O.|last2=Sheynin | title=A forerunner of the ''t''-distribution  (Studies in the history of probability and statistics XLIV) |url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1996-12_83_4/page/891| year=1996 | journal=Biometrika | volume=83 | issue=4 |pages=891–898 | doi=10.1093/biomet/83.4.891 <!-- abstract = “The t-distribution first occurred in a paper by Lüroth (1876) on the classical theory of errors in connection with a Bayesian result.” --> |mr=1766040}}</ref><ref>{{Cite journal| doi=10.1007/BF00374700 | last=Sheynin | first=O. | year=1995 | title=Helmert’s work in the theory of errors | journal=Arch. Hist. Exact Sci. | volume=49 | pages=73–104}}</ref>

英國人[[威廉·戈塞]]于1908年再次发现并发表了''t''分布，当时他还在愛爾蘭[[都柏林]]的[[吉尼斯]]啤酒酿酒厂工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下，以筆名發表''t'' 分佈的發現，所以论文使用了「学生」（Student）这一笔名。之后''t''检定以及相关理论经由[[羅納德·費雪]]发扬光大，為了感謝戈塞的功勞，費雪将此分布命名为'''学生''t'' 分布'''（Student's ''t''）。<ref>{{cite book|title=Introduction to the Practice of SATISTICS|last=Moore|first=David S.|others=George P. McCabe, Bruce A. Craig|edition=7th International Edition|page=p. 401|publisher=W. H. Freeman and Company|location=New York|year=2012|language=en|ISBN=978-1-4292-8664-0}}</ref>

== 描述 ==
假设<math>X</math>是呈[[正态分布]]的独立的[[随机变量]]（随机变量的[[期望值]]為<math>\mu</math>，母體[[變異數]]為<math>\sigma^{2}</math>但其值未知）。
令：

:<math>\overline{X}_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}</math>

为'''样本期望值'''，

:<math>{S_n}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2</math>

为'''樣本變異數'''，

:<math>Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}</math>
為呈期望值為0變異數為1的[[常態分布]]的[[随机变量]]，但因母體變異數<math>\sigma^{2}</math>為未知，因此依[[史拉斯基定理]]以<math>{S_n}^2</math>替換之：
:<math>T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}}</math>
''T'' 的[[機率密度函數]]是：

:<math>f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} (1+\frac{t^2}{\nu})^{\frac{-(\nu+1)}{2}}</math>

'' <math> \nu </math> ''等于''n'' − 1。
''T''的分布称为'''''t'' 分布'''。[[母數]]''<math>\nu</math> ''一般被称为[[自由度 (統計學)|自由度]]。

''' <math> \Gamma </math> '''是[[Γ函数|伽玛函数]]。
如果<math>\nu</math>是偶数,

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3} { 2 \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4 \cdot 2\,}\cdot </math>
如果<math>\nu</math>是奇数,

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\,}\cdot\!</math>

''T'' 的[[機率密度函數]]的形状类似于期望值为0方差为1的正态分布，但更低更宽。随着自由度<math>\nu</math>的增加，则越来越接近期望值为0方差为1的正态分布。
{| align="center"
|+ ''t'' 分布密度 (红色曲线) 在自由度为 1, 2, 3, 5, 10, 30比较于[[标准正态分布]](蓝色曲线).<br>前幅图用绿色曲线表示.
|-
| [[Image:T distribution 1df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=1df|1 degree of freedom]]
| [[Image:T distribution 2df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=2df|2 degrees of freedom]]
| [[Image:T distribution 3df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=3df|3 degrees of freedom]]
|-
| [[Image:T distribution 5df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=5df|5 degrees of freedom]]
| [[Image:T distribution 10df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=10df|10 degrees of freedom]]
| [[Image:T distribution 30df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=30df|30 degrees of freedom]]
|}

''T''分布的概率累计函数，用[[Β函数#不完全贝塔函数|不完全贝塔函数]]''I''表示：
:<math>F(t) = \int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1- \tfrac{1}{2} I_{x(t)}\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right), </math>
其中
:<math>x(t) = \frac{\nu}{{t^2+\nu}}.</math>


''T''分布的矩为：

:<math>E(T^k)=\begin{cases}
0 & \mbox{k odd}, 0<k< \nu\\
\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} & \mbox{k even}, 0<k< \nu\\
\mbox{NaN} & \mbox{k odd}, 0<\nu\leq k\\
\infty & \mbox{k even}, 0<\nu\leq k\\ \end{cases}
</math>

== 学生''t'' 分布置信区间的推导 ==
假设数量''A''在当''T''呈''t''-分布（''T''的[[自由度 (统计学)|自由度]]为''n'' − 1）满足

:<math>\Pr(-A < T < A)=0.90\,</math>

这与
:<math>\Pr(T < A) = 0.95\,</math>是相同的

''A''是这个[[概率分布]]的第95个百分点

那么

:<math>\Pr\left(-A < {\overline{X}_n - \mu \over S_n/\sqrt{n}} < A\right)=0.9,</math>

等价于

:<math>\Pr\left(\overline{X}_n - A{S_n \over \sqrt{n}} < \mu
< \overline{X}_n + A{S_n \over \sqrt{n}}\right) = 0.9</math>

因此μ的90%[[置信区间]]为：

:<math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>

== 计算 ==
现在最方便的计算T分布的办法是使用电子表格软件（如Excel）或查相关在线计算网站。例如，Excel的TDIST(x,v,sides)用来计算自由度为v的T分布，如果第三个参数为1，则给出Pr(T>x)；如果第三个参数为2，则计算Pr(T>x Or T<-x).

下表列出了自由度為<math>\nu</math>的''t'' 分布的單側和雙側區間值。例如，當樣本數量n=5時，則自由度<math>\nu</math>=4，我們就可以查找表中以4開頭的行。該行第5列值為2.132，對應的''單側''值為95%（''雙側''值為90%）。這也就是說，T小於2.132的概率為95%（即單側），記為Pr(−∞ < ''T'' < 2.132) = 0.95；同時，T值介於-2.132和2.132之間的概率為90%（即雙側），記為Pr(−2.132 < ''T'' < 2.132) = 0.9。

這是根據分布的對稱性計算得到的，

:Pr(''T'' < −2.132) = 1 − Pr(''T'' > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,

因此，

: Pr(−2.132 < ''T'' < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

'''注意'''關於表格的最後一行的值：自由度為無限大的''t-''分布和常態分布等價。

{| class="wikitable"
|-
! ''單側''
! '''75%'''
! '''80%'''
! '''85%'''
! '''90%'''
! '''95%'''
! '''97.5%'''
! '''99%'''
! '''99.5%'''
! '''99.75%'''
! '''99.9%'''
! '''99.95%'''
|-
! ''雙側''
! '''50%'''
! '''60%'''
! '''70%'''
! '''80%'''
! '''90%'''
! '''95%'''
! '''98%'''
! '''99%'''
! '''99.5%'''
! '''99.8%'''
! '''99.9%'''
|-
!'''1''' 
|1.000 
|1.376 
|1.963 
|3.078 
|6.314 
|12.71 
|31.82 
|63.66 
|127.3 
|318.3 
|636.6 
|-
!'''2''' 
|0.816 
|1.061 
|1.386 
|1.886 
|2.920 
|4.303 
|6.965 
|9.925 
|14.09 
|22.33 
|31.60 
|-
!'''3''' 
|0.765 
|0.978 
|1.250 
|1.638 
|2.353 
|3.182 
|4.541 
|5.841 
|7.453 
|10.21 
|12.92 
|-
!'''4''' 
|0.741 
|0.941 
|1.190 
|1.533 
|2.132 
|2.776 
|3.747 
|4.604 
|5.598 
|7.173 
|8.610 
|-
!'''5'''
|0.727 
|0.920 
|1.156 
|1.476 
|2.015 
|2.571 
|3.365 
|4.032 
|4.773 
|5.893 
|6.869 
|-
!'''6''' 
|0.718 
|0.906 
|1.134 
|1.440 
|1.943 
|2.447 
|3.143 
|3.707 
|4.317 
|5.208 
|5.959 
|-
!'''7''' 
|0.711 
|0.896 
|1.119 
|1.415 
|1.895 
|2.365 
|2.998 
|3.499 
|4.029 
|4.785 
|5.408 
|-
!'''8''' 
|0.706 
|0.889 
|1.108 
|1.397 
|1.860 
|2.306 
|2.896 
|3.355 
|3.833 
|4.501 
|5.041 
|-
!'''9''' 
|0.703 
|0.883 
|1.100 
|1.383 
|1.833 
|2.262 
|2.821 
|3.250 
|3.690 
|4.297 
|4.781 
|-
!'''10''' 
|0.700 
|0.879 
|1.093 
|1.372 
|1.812 
|2.228 
|2.764 
|3.169 
|3.581 
|4.144 
|4.587 
|-
!'''11''' 
|0.697 
|0.876 
|1.088 
|1.363 
|1.796 
|2.201 
|2.718 
|3.106 
|3.497 
|4.025 
|4.437 
|-
!'''12''' 
|0.695 
|0.873 
|1.083 
|1.356 
|1.782 
|2.179 
|2.681 
|3.055 
|3.428 
|3.930 
|4.318 
|-
!'''13''' 
|0.694 
|0.870 
|1.079 
|1.350 
|1.771 
|2.160 
|2.650 
|3.012 
|3.372 
|3.852 
|4.221 
|-
!'''14''' 
|0.692 
|0.868 
|1.076 
|1.345 
|1.761 
|2.145 
|2.624 
|2.977 
|3.326 
|3.787 
|4.140 
|-
!'''15''' 
|0.691 
|0.866 
|1.074 
|1.341 
|1.753 
|2.131 
|2.602 
|2.947 
|3.286 
|3.733 
|4.073 
|-
!'''16''' 
|0.690 
|0.865 
|1.071 
|1.337 
|1.746 
|2.120 
|2.583 
|2.921 
|3.252 
|3.686 
|4.015 
|-
!'''17''' 
|0.689 
|0.863 
|1.069 
|1.333 
|1.740 
|2.110 
|2.567 
|2.898 
|3.222 
|3.646 
|3.965 
|-
!'''18''' 
|0.688 
|0.862 
|1.067 
|1.330 
|1.734 
|2.101 
|2.552 
|2.878 
|3.197 
|3.610 
|3.922 
|-
!'''19''' 
|0.688 
|0.861 
|1.066 
|1.328 
|1.729 
|2.093 
|2.539 
|2.861 
|3.174 
|3.579 
|3.883 
|-
!'''20''' 
|0.687 
|0.860 
|1.064 
|1.325 
|1.725 
|2.086 
|2.528 
|2.845 
|3.153 
|3.552 
|3.850 
|-
!'''21''' 
|0.686 
|0.859 
|1.063 
|1.323 
|1.721 
|2.080 
|2.518 
|2.831 
|3.135 
|3.527 
|3.819 
|-
!'''22''' 
|0.686 
|0.858 
|1.061 
|1.321 
|1.717 
|2.074 
|2.508 
|2.819 
|3.119 
|3.505 
|3.792 
|-
!'''23''' 
|0.685 
|0.858 
|1.060 
|1.319 
|1.714 
|2.069 
|2.500 
|2.807 
|3.104 
|3.485 
|3.767 
|-
!'''24''' 
|0.685 
|0.857 
|1.059 
|1.318 
|1.711 
|2.064 
|2.492 
|2.797 
|3.091 
|3.467 
|3.745 
|-
!'''25''' 
|0.684 
|0.856 
|1.058 
|1.316 
|1.708 
|2.060 
|2.485 
|2.787 
|3.078 
|3.450 
|3.725 
|-
!'''26''' 
|0.684 
|0.856 
|1.058 
|1.315 
|1.706 
|2.056 
|2.479 
|2.779 
|3.067 
|3.435 
|3.707 
|-
!'''27''' 
|0.684 
|0.855 
|1.057 
|1.314 
|1.703 
|2.052 
|2.473 
|2.771 
|3.057 
|3.421 
|3.690 
|-
!'''28''' 
|0.683 
|0.855 
|1.056 
|1.313 
|1.701 
|2.048 
|2.467 
|2.763 
|3.047 
|3.408 
|3.674 
|-
!'''29''' 
|0.683 
|0.854 
|1.055 
|1.311 
|1.699
|2.045 
|2.462 
|2.756 
|3.038 
|3.396 
|3.659 
|-
!'''30''' 
|0.683 
|0.854 
|1.055 
|1.310
|1.697 
|2.042 
|2.457 
|2.750 
|3.030 
|3.385 
|3.646 
|-
!'''40''' 
|0.681 
|0.851 
|1.050 
|1.303 
|1.684 
|2.021 
|2.423 
|2.704 
|2.971 
|3.307 
|3.551 
|-
!'''50''' 
|0.679 
|0.849 
|1.047 
|1.299 
|1.676 
|2.009 
|2.403 
|2.678 
|2.937 
|3.261 
|3.496 
|-
!'''60'''
|0.679 
|0.848 
|1.045 
|1.296 
|1.671 
|2.000 
|2.390 
|2.660 
|2.915 
|3.232 
|3.460 
|-
!'''80''' 
|0.678 
|0.846 
|1.043 
|1.292 
|1.664 
|1.990 
|2.374 
|2.639 
|2.887 
|3.195 
|3.416 
|-
!'''100''' 
|0.677 
|0.845 
|1.042 
|1.290 
|1.660 
|1.984 
|2.364 
|2.626 
|2.871 
|3.174 
|3.390 
|-
!'''120''' 
|0.677 
|0.845 
|1.041 
|1.289 
|1.658 
|1.980 
|2.358 
|2.617 
|2.860 
|3.160 
|3.373 
|-
!'''<math>\infty</math>'''
|0.674 
|0.842 
|1.036 
|1.282 
|1.645 
|1.960 
|2.326 
|2.576 
|2.807 
|3.090 
|3.291
|}

== 範例 ==
给定一个样本：样本期望值和方差分别为10和2，样本大小为11（[[自由度_(统计学)|自由度]]为10）。根據公式：

:<math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>

可知，使用該方法統計出來的最大值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水準/confidence level）低於：

:<math>10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510.</math>

同理，使用該方法統計出來的最小值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水準/confidence level）高於：

:<math>10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490.</math>

因此，使用該方法統計出來的最大值和最小值，平均有80%的概率介於：

:<math>10\pm1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=[9.41490,10.58510]</math>

兩值之間。（需注意此非代表數據的真正期望值介於這兩個值之間的機率為80%，詳情請參見[[置信区间]]。）

==參見==
* [[假說檢定]]
*[[司徒頓t檢定]]
*[[概率分布]]
* {{tsl|en|Levene's test|}}

== 參考文獻 ==
<references />

== 外部連結 ==

* (en)[http://www.incertitudes.fr/book.pdf Probability, Statistics and Estimation]{{Wayback|url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf |date=20170403013924 }} 首先第112页。 

{{概率分布类型列表|学生t-分布}}

[[Category:統計學]]
[[Category:连续分布]]