查看“︁叶戈罗夫定理”︁的源代码

在[[测度论]]中，'''叶戈罗夫定理'''确立了一个[[可测函数]]的[[逐点收敛]][[序列]][[一致连续]]的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家[[德米特里·叶戈罗夫]]命名，他在1911年出版了该定理。

叶戈罗夫定理与[[支撑集|紧支撑]][[连续函数]]在一起，可以用来证明[[可积函数]]的[[卢津定理]]。

==定理的陈述==
设(''M'',''d'')为一个[[可分空间|可分]][[度量空间]]（例如[[实数]]，度量为通常的距离''d''(''a'',''b'')&nbsp;= |''a''&nbsp;&minus;&nbsp;''b''|）。给定某个[[测度空间]](''X'',&Sigma;,&mu;)上的''M''-值可测函数的序列(''f<sub>n</sub>'')，以及一个有限&mu;-测度的[[可测集|可测子集]]''A''，使得(''f''<sub>''n''</sub>)在''A''上&mu;-[[几乎处处]]收敛于极限函数''f''，那么以下结果成立：对于每一个&epsilon;&nbsp;>&nbsp;0，都存在''A''的一个可测[[子集]]''B''，使得&mu;(''B'')&nbsp;<&nbsp;&epsilon;，且(''f<sub>n</sub>'')在[[补集|相对补集]]''A''&nbsp;\&nbsp;''B''上一致收敛于''f''。

在这里，&mu;(''B'')表示''B''的&mu;-测度。该定理说明，在''A''上几乎处处逐点收敛，意味着除了在任意小测度的某个子集''B''外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。

==假设的讨论==

注意&mu;(''A'') < &infin;的假设是必要的。在[[勒贝格测度]]下，考虑定义在[[实直线]]上的实值[[指示函数]]的序列：

:<math>f_n(x) = 1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}</math>

这个序列处处逐点收敛于零函数，但对于任何有限测度的集合''B''，它在'''R'''&nbsp;\&nbsp;''B''上不一致收敛。

度量空间的可分性是需要的，以保证对于''M''-值可测函数''f''和''g''，距离''d''(''f''(''x''),&nbsp;''g''(''x''))也是''x''的可测实值函数。

==证明==
对于实数''n''和''k''，定义集合''E<sub>n,k</sub>''为以下[[并集]]：

:<math> E_{n,k} = \bigcup_{m\ge n} \Bigl\{ x\in A \,\Big|\, d(f_m(x),f(x)) \ge \frac1k \Bigr\}.</math>

当''n''增加时这些集合逐渐变小，意味着''E''<sub>''n''+1,''k''</sub>总是''E<sub>n,k</sub>''的子集，因为第一个并集包含了较少的集合。一个点''x''，使得序列(''f<sub>m</sub>''(''x''))收敛于''f''(''x'')，不能位于每一个''E<sub>n,k</sub>''中（对于固定的''k''），因为''f<sub>m</sub>''(''x'')最终必须离''f''(''x'')比离1/''k''更近。因此根据在''A''上&mu;-几乎处处逐点收敛的假设，对于每一个固定的k，有：

:<math>\mu\biggl(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}E_{n,k}\biggr)=0</math>

由于''A''的测度是有限的，我们便可从上面推出连续性；因此对于每一个''k''，都存在某个自然数''n<sub>k</sub>''，使得：

:<math>\mu(E_{n_k,k}) < \frac\varepsilon{2^k}.</math>

对于这个集合中的''x''，我们认为逼近''f''(''x'')的1/''k''-[[邻域]]的速度太慢。定义

:<math> B = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} E_{n_k,k}</math>
 
为''A''中所有点''x''的集合，使得逼近''f''(''x'')的至少一个1/''k''-邻域的速度太慢。因此，在集合差''A''&nbsp;\&nbsp;''B''上，我们便得出一致收敛。
 
根据&mu;的[[σ可加性]]，并利用[[几何级数]]，我们便得到：
:<math>\mu(B) 
\le\sum_{k\in\mathbb{N}}\mu(E_{n_k,k})
\le\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac\varepsilon{2^k}
=\varepsilon.</math>

==参考文献==

#Richard Beals (2004). ''Analysis: An Introduction''. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
#Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.
#Eric W. Weisstein et al. (2005).  [http://mathworld.wolfram.com/EgorovsTheorem.html Egorov's Theorem]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/EgorovsTheorem.html |date=20080622021040 }}. 于2005年4月19日访问。

[[Category:实分析]]
[[Category:测度论]]
[[Category:数学定理|Y]]