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在[[數學]]的歷史中，[[群論]]原本起源於對[[五次方程|高于四次]]的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着[[伽羅瓦理论]]的提出而确立。'''可解群'''的概念產生於描述其根可以只用[[根式]]（平方根、立方根等等及其和與積）表示的[[多項式]]所对应的[[自同構|自同構群]]所擁有的性質。

一個群被稱為'''可解的'''，若它擁有一個其[[商群]]皆為[[阿貝爾群]]的[[正規列]]。或者等價地說，若其降正規列
:<math>G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,</math>
之中，每一個子群都會是前一個的[[导群]]，且最後一個為''G''的平凡子群{1}。上述兩個定義是等價的，对一個群''H''及''H''的[[正規子群]]''N''，其商群''H''/''N''為可交換的[[若且唯若]]''N''包含著''H''<sup>(1)</sup>。

對於有限群，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為[[質數]][[階 (群論)|階]]的[[循環群]]之[[合成列]]的群。此一定義會等價是因為每一個[[簡單群|簡單]]阿貝爾群都是有質數階的循環群。[[若爾當-赫爾德定理]]表示若一個合成列有此性質，則其循環群即會對應到某個體上的''n''個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數群'''Z'''的非當然子群皆[[群同構|同構]]於'''Z'''本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構於'''Z'''的商群之正規列{0,'''Z'''}，證明了其確實是可解的。

和[[乔治·波利亚]]的格言「若有一個你無法算出的問題，則會有的你''可以''算出的較簡單的問題」相一致的，可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。

==例子==

所有的阿貝爾群都是可解的——其次正規群列为自身和平凡子群。但非阿貝爾群則不一定都是可解的。

更一般地，所有[[冪零群]]都是可解的。特別地是，所有的有限[[p-群]]都是可解的，因為所有的有限[[p-群]]都會是冪零的。

可解但不為冪零的群的一個小例子為[[对称群_(n次对称群)|對稱群]]''S''<sub>3</sub>。實際上，因最小的非阿貝爾的單群為''A''<sub>5</sub>(5个元的[[交錯群]])時，''所有''小於60階的群皆為可解的。

群''S''<sub>5</sub>不是可解的－它有一合成列{E,''A''<sub>5</sub>,''S''<sub>5</sub>}([[:合成列#若尔当-赫尔德定理|若爾當-赫爾德定理]]指出每個其他的合成列都會等價於此一合成列)，給出了同構於''A''<sub>5</sub>及''C''<sub>2</sub>的商群；而''A''<sub>5</sub>為非可換的。廣義化此一論述，結合''A''<sub>''n''</sub>在''n'' > 4時為''S''<sub>''n''</sub>的正規、最大且非阿貝爾簡單子群的事實，可知''n'' > 4的所有''S''<sub>''n''</sub>皆不可解，此亦為證明每一個''n'' > 4的''n''次[[多項式]]都不可以以方根得解的關鍵步驟。

著名的[[范特-湯普遜定理]]指出，每一個奇數階的有限群皆是可解的。特別地，此定理指出，若一有限群為[[單群]]，其必為質數階[[循環羣]]或是偶數階的。

==性質==

可解性的性質在某一意義上是可繼承的，如下：
*若''G''為可解的，且''H''為''G''的子群，則''H''也是可解的。
*若''G''是可解的，且''H''為''G''的正規子群，則''G''/''H''也是可解的。
*若''G''是可解的，且存在一''G''[[滿射]]至''H''的[[同態]]，則''H''也是可解的。
*若''H''及''G''/''H''為可解的，則''G''也是可解的。
*若''G''及''H''為可解的，則其[[直積]]''G'' × ''H''也是可解的。

==超可解群==
做為可解性的加強版，一個群''G''被稱為'''超可解的'''，若它有一其商群皆為循環群的''不變''正規列；換句話說，if it is solvable with each ''A''<sub>''i''</sub> also being a normal subgroup of ''G''，且每個''A''<sub>''i''+1</sub>/''A''<sub>''i''</sub>都不只是可交換而已，且也是循環的(可能為無限階)。因為一正規列在定義中有有限的長度，所以不可數阿貝爾群不會是超可解的。實際上，所有的超可解群皆為有限產生群，且一個阿貝爾群為超可解的若且唯若其為有限產生的。

若限制在有限產生群中，將可以有下列的排序：

:[[循環群]] < [[阿貝爾群]] < [[冪零群]] < '''超可解群''' < [[多循環群]] < '''可解群''' < [[有限生成群]]

==连续可解群==
既连通又可解的代数群。假设G是定义在代数闭域上的一个线性代数群，G的一个导序列是指按如下递归构造的一个正规闭子群序列：

<math>D^0(G)=G , D^{i+1}(G)=\Bigl(D^i(G),D^i(G)\Bigr)</math>

如果G连通，这些D<sup>i</sup>（G）也都是连通的。G称作是可解的，如果存在自然数n，使得D<sup>n
</sup>（G）＝｛e｝，若G还是连通的，则称G是连通可解群。可解群的闭子群，商群还都是可解群.


== 参考文献 ==
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== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20070310200326/http://www.research.att.com/~njas/sequences/A056866 A056866] - orders of non-solvable finite groups. 

{{-}}
{{ModernAlgebra}}

[[Category:群论]]
[[Category:可解群| ]]
[[Category:群的性質]]