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[[File:State transition SFG.svg|thumb|upright=1|300px|一系統的[[信號流圖]]，其狀態X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub> 都連到輸出Y，因此系統具有可觀察性]]

[[控制理論]]中的'''可觀察性'''（observability）是指[[系統]]可以由其外部輸出推斷其其內部[[狀態空間|狀態]]的程度。系統的可觀察性和[[可控制性]]是數學上[[对偶 (数学)|对偶]]的概念。可觀察性最早是匈牙利裔工程師[[鲁道夫·卡尔曼]]針對線性動態系統提出的概念<ref>Kalman R. E., "On the General Theory of Control Systems", Proc. 1st Int. Cong. of IFAC, Moscow 1960 1481, Butterworth, London 1961.</ref><ref>Kalman R. E., "Mathematical Description of Linear Dynamical Systems", SIAM J. Contr. 1963 1 152</ref>。若以[[信號流圖]]來看，若所有的內部狀態都可以輸出到輸出信號，此系統即有可觀察性。

==定義==
若以正式的定義來看，一系統具有可觀察性若且唯若，針對所有的[[狀態空間|狀態向量]]及控制向量{{clarifyme|date=2011年10月}}，都可以在有限時間內，只根據輸出信號來識別目前的狀態（此定義比較接近狀態空間的表示方式）。比較不正式的說法，就表示可以根據系統輸出來判斷整個系統的行為。若系統不可觀察，表示其中部份狀態的值無法透過輸出信號來判定。這也表示控制器無法知道這個狀態的值（此時就要透過其他的估測技術才能知道其狀態）。

在用狀態空間表示的[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]中，有一個簡單的方式來確認系統是否可觀測。考慮一個有<math>n</math>個狀態的[[單一輸入單一輸出系統]]<!--(see [[state space (controls)|state space]] for details about [[MIMO]] systems).-->，若以下可觀測性矩陣（observability matrix）中的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-[[秩 (线性代数)|秩]]

:<math>\mathcal{O}=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}</math>

等於<math>n</math><!-- (where the notation is defined [[#Continuous time-varying system|below]])-->，則此系統為可觀測系統。此一測試的原理是若<math>n</math>個-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-是線性獨立的，則<math>n</math>個狀態可以透過輸出變數 <math>y(k)</math>的線性組合來得知。 

有些系統會利用對輸出的量測來估計系統的狀態，這類功能的模組稱為[[狀態觀測器]]（state observer）或簡稱為觀測器（observer）。

;可觀測性指數
线性时不变系统的可觀測性指數（Observability index） <math>v</math>是滿足<math>\text{rank}{(\mathcal{O}_v)} = \text{rank}{(\mathcal{O}_{v+1})}</math>的最小自然數，其中

:<math> \mathcal{O}_v=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{v-1} \end{bmatrix}.</math>

;不可觀測子空間

線性系統(A,,C)不可觀測子空間N是線性映射G的[[核_(线性算子)|核]]<ref name=Sontag/>

:<math> G: R^{n} \rightarrow  \mathcal{C}(t_0,t_1;R^n) </math>
:<math> x_0  \mapsto  C\Phi(t_{0},t_{1}) x_0  </math>,
:
其中<math>\mathcal{C}(t_0,t_1;R^n)</math>是連續函數<math>f: [t_0,t_1] \to R^n</math> 的集合，且<math>\Phi(t_{0},t_{1})</math>是和A相關的狀態傳遞矩陣。


若(A,,C)是自主系統（autonomous system），N可以改寫為
<ref name=Sontag/>

:<math> N = \bigcap_{k=0}^{n-1} \ker(CA^{k})= \ker{\mathcal{O}} </math>

例子：考慮以下的A和C：
:<math> 
A =\begin{bmatrix}
1 &0 \\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
 </math>,  <math> 
C =\begin{bmatrix}
0 &1 \\ 
\end{bmatrix}
 </math>.

若可觀測性矩陣定義為<math>\mathcal{O}:= (C^T|A^TC^T)^T</math>，可以計算如下：

:<math> 
\mathcal{O} =\begin{bmatrix} 
0 &1 \\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
 </math>

因此可以計算可觀測性矩陣的核。

<math>\mathcal{O} v = 0 </math>

:<math> 
\begin{bmatrix} 
0 &1\\ 
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 
v1\\ 
v2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0\\ 
0
\end{bmatrix}
\to

v=\begin{bmatrix} 
v1\\ 
0
\end{bmatrix}
\to
v=v1\begin{bmatrix} 
1\\ 
0

\end{bmatrix}
 </math>

<math>
Ker(\mathcal{O})= N = span\{


\begin{bmatrix} 
1\\ 
0
\end{bmatrix}
\}
</math>

若Rank(<math>\mathcal{O}</math>)=n，n為可觀測性矩陣中獨立-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的個數，表示系統可觀測。在此例中det(<math>\mathcal{O}</math>)=0，因此Rank(<math>\mathcal{O}</math>)<n，此系統不可觀測。

因為不可觀測子空間為<math>R^n</math>的子空間，因此以下的性質成立：
<ref name=Sontag> Sontag, E.D., "Mathematical Control Theory", Texts in Applied Mathematics, 1998</ref>
*<math> N \subset Ke(C) </math>
*<math> A(N) \subset N  </math>
*<math> N= \bigcup { \{ S \subset R^n \mid S \subset Ke(C), A(S) \subset N  \}} </math>

;可偵測性
可偵測性（detectability）是比可觀測性略弱一些的條件。若系統內所有不可偵測的狀態都是穩定的，此系統即具有可偵測性<ref>{{Cite web |url=http://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf |title=存档副本 |access-date=2017-10-21 |archive-date=2019-06-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190610125559/https://www.ece.rutgers.edu/~gajic/psfiles/chap5traCO.pdf |dead-url=no }}</ref>。

== 線性時變系統 ==

考慮[[連續函數 (拓撲學)|連續時間]]下的[[線性]][[時變系統]]

: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t) \, </math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t). \, </math>

若<math>t \in [t_0,t_1];</math>的時間內，<math>A,B</math>和<math>C</math>矩陣都已知，而輸入及輸出<math>u</math>和<math>y</math>也都已知，可以透過一個額外在<math>M(t_0,t_1)</math>[[核 (线性算子)|核]]之內的向量來確認<math>x(t_0)</math>，<math>M(t_0,t_1)</math>定義如下
: <math>M(t_0,t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \phi(t,t_0)^{T}C(t)^{T}C(t)\phi(t,t_0) dt</math>
其中<math>\phi</math>為[[狀態轉換矩陣]]。

若<math>M(t_0,t_1)</math>為[[非奇异方阵]]，可以找到一個唯一的<math>x(t_0)</math>。而且若<math>x_1 - x_2</math>是在<math>M(t_0,t_1)</math>的核內，不可能由<math>x_2</math>找到對應的啟始狀態<math>x_1</math>。

上述定義的<math>M</math>有以下的特性：
* <math>M(t_0,t_1)</math>為[[對稱矩陣]]
* <math>M(t_0,t_1)</math>在 <math>t_1 \geq t_0</math>時，為[[半正定矩阵]]
* <math>M(t_0,t_1)</math>滿足線性[[矩陣微分方程]]
:: <math>\frac{d}{dt}M(t,t_1) = -A(t)^{T}M(t,t_1)-M(t,t_1)A(t)-C(t)^{T}C(t), \; M(t_1,t_1) = 0</math>
* <math>M(t_0,t_1)</math>滿足以下方程
:: <math>M(t_0,t_1) = M(t_0,t) + \phi(t,t_0)^T M(t,t_1)\phi(t,t_0)</math><ref>{{cite book|first=Roger W.|last=Brockett|title=Finite Dimensional Linear Systems|url=https://archive.org/details/finitedimensiona0000broc|publisher=John Wiley & Sons|year=1970|isbn=978-0-471-10585-5}}</ref>

=== 可觀測性 ===
系統在[<math>t_0</math>,<math>t_1</math>]可觀測，若且唯若在存在區間[<math>t_0</math>,<math>t_1</math>] \in <math>\mathbb{R}</math>，使得矩陣<math>M(t_0,t_1)</math>為非奇异方阵。

若<math>A(t), C(t)</math>可解析，則系統在[<math>t_0</math>,<math>t_1</math>]可觀測的條件是存在<math>\bar{t} \in [t_0,t_1]</math>以及正數k使得<ref name=":0">Eduardo D. Sontag, Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems.</ref>

: <math> rank \begin{bmatrix}
 & N_0(\bar{t}) & \\ 
 & N_1(\bar{t}) & \\ 
 & : & \\ 
 & N_{k}(\bar{t}) & 
\end{bmatrix} = n, </math>

其中<math>N_0(t):=C(t)</math>，而<math>N_i(t)</math>可用以下方式遞迴定義

: <math>N_{i+1}(t) := -N_i(t)A(t) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}N_i(t),\  i = 0, \ldots, k-1 </math>

=== 例子 ===
考慮一個在<math> (-\infty,\infty) </math>內解析的時變系統，矩陣為

<math>A(t) = \begin{bmatrix}
t & 1 & 0\\ 
0 & t^{3} & 0\\ 
0 & 0 & t^{2} 
\end{bmatrix}</math>, <math> C(t) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}.</math>則<math> \begin{bmatrix}
N_0(0) \\
N_1(0) \\
N_2(0) 
\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\ 
0 &-1 & 0 \\ 
1& 0 & 0 
\end{bmatrix}</math>，因為矩陣的秩為3，因此在 <math>\mathbb{R}</math>內所有非平凡區間內都是可控制的。

== 非線性系統 ==
假設系統<math>\dot{x} = f(x) + \sum_{j=1}^mg_j(x)u_j </math>, <math>y_i = h_i(x), i \in p</math>，其中<math>x \in \mathbb{R}^n</math>為狀態向量，<math>u \in \mathbb{R}^m</math>為輸入向量，而<math>y \in \mathbb{R}^p</math>為輸出向量。<math>f,g,h</math>都是光滑的向量場。

定義可觀測空間<math>\mathcal{O}_s</math>為包括所有[[李导数]]及多重李导数的空間。此空間在<math>x_0</math>可觀測若且唯若<math>\textrm{dim}(d\mathcal{O}_s(x_0)) = n</math>。

註<math>d\mathcal{O}_s(x_0) = \mathrm{span}(dh_1(x_0), \ldots , dh_p(x_0), dL_{v_i}L_{v_{i-1}}, \ldots , L_{v_1}h_j(x_0)),\ j\in p, k=1,2,\ldots.</math><ref>Lecture notes for Nonlinear Systems Theory by prof. dr. D.Jeltsema, prof dr. J.M.A.Scherpen and prof dr. A.J.van der Schaft.</ref>

Griffith及Kumar,<ref>Griffith E. W. and Kumar K. S. P., "On the Observability of Nonlinear Systems I, J. Math. Anal. Appl. 1971
35 135</ref>、Kou、Elliot及Tarn<ref>Kou S. R., Elliott D. L. and Tarn T. J. Observability of nonlinear systems. Information and Control, 22:89–99, 1973</ref>及Singh<ref>Singh S.N., "Observability in Non-linear Systems with immeasurable Inputs, Int. J. Syst. Sci.,  6 723, 1975</ref>是早期發展非線性動態系統的可觀測性準則的先驅。

== 靜態系統及一般拓撲空間==
可觀測性也可以用來描述穩態系統（一般會用代數方程及不等式來定義），甚至是<math>\mathbb{R}^n</math>內的集合
<ref>{{Cite web |url=http://gregstanleyandassociates.com/whitepapers/DataRec/CES-1981a-ObservabilityRedundancy.pdf |title=Stanley G.M. and Mah, R.S.H., "Observability and Redundancy in Process Data Estimation, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981) |accessdate=2017-10-25 |archive-date=2020-01-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200126072136/https://gregstanleyandassociates.com/whitepapers/DataRec/CES-1981a-ObservabilityRedundancy.pdf |dead-url=yes }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://gregstanleyandassociates.com/whitepapers/DataRec/CES-1981b-ObservabilityRedundancyProcessNetworks.pdf |title=Stanley G.M., and Mah R.S.H., "Observability and Redundancy Classification in Process Networks", Chem. Engng. Sci. 36, 1941 (1981)  |access-date=2017-10-25 |archive-date=2017-08-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170810173652/http://gregstanleyandassociates.com/whitepapers/DataRec/CES-1981b-ObservabilityRedundancyProcessNetworks.pdf |dead-url=no }}</ref>。就像可觀測性準則可以預測動態系統中[[卡尔曼滤波]]或其他觀測器的行為一様，<math>\mathbb{R}^n</math>內集合的可觀測性準則也可以預測{{le|data validation and reconciliation|data validation and reconciliation|data reconciliation}}及其他靜態觀測器的行為。在非線性的例子中，可以針對個別變數或區部特性來判斷可觀測性，不需針對全域特性來判斷。

== 相關條目 ==
* [[可控制性]]
* [[可識別性]]
* [[狀態觀測器]]
* [[状态空间]]
* [[可观测性格拉姆矩阵]]

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
*{{planetmath reference|id=6074|title=Observability|urlname=observability}}
* [http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/obsv.html MATLAB function for checking observability of a system] {{Wayback|url=http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/obsv.html |date=20120219025315 }}
* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ObservableModelQ.html Mathematica function for checking observability of a system] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ObservableModelQ.html |date=20131118025349 }}
[[Category:控制理论]]