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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Stern-Gerlach experiment zh.png|thumb|250px|[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的<math>S_z</math>為上旋，另一道銀原子束的<math>S_z</math>為下旋。在這裏，<math>S_z</math>是可觀察量。]]
在[[物理學]]裏，特別是在[[量子力學]]裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的[[算符|物理運作過程]]而得知。這些可以得知的性質，稱為'''可觀察量'''（{{lang|en|observable}}）。例如，物理運作可能涉及到施加[[電磁場]]於物理系統，然後使用實驗儀器測量某[[物理量]]的數值。在[[經典力學]]的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的[[實函數]]來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為[[量子態]]，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用[[線性代數]]來解釋。根據[[量子力學的數學表述]]，量子態可以用存在於[[希爾伯特空間]]的[[態向量]]來代表，量子態的可觀察量可以用[[厄米算符]]來代表。

==數學表述==
===本徵態===
假設，物理量<math>O</math>是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符<math>\hat{O}</math>，可能有很多不同的本徵值<math>O_i</math>與對應的本徵態<math>|e_i\rang</math>，這些本徵態<math>|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n</math>，形成了具有[[正交歸一性]]的[[基底]]：<ref name=Griffiths2004/>{{rp|96-99}}
:<math>\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}</math>；

其中，<math>\delta_{ij}</math>是[[克羅內克函數]]。

任何描述這量子系統的量子態<math>|\psi\rang</math>，都可以用這基底的本徵態表示為
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang </math>；

其中，<math>c_i=\lang e_i |\psi \rang</math>是複係數，是在量子態<math>|e_i\rang</math>裏找到量子態<math>|\psi\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010|isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|50}}

假設，量子態<math>|\psi\rang</math>等於這些本徵態之中的一個本徵態<math>|e_k\rang</math>，則對於這量子系統，測量可觀察量<math>O</math>，得到的結果必定等與本徵值<math>O_k</math>，機率為1，量子態<math>|\psi\rang</math>是「確定態」。

===統計詮釋===
根據[[統計詮釋]]，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall|year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|106-109}}

假設，某量子系統的量子態為
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang</math>。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符<math>\hat{O}</math>的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態<math>|e_i\rang</math>，則改變為這本徵態的機率為<math>p_i=|c_i|^2</math>，測量結果是本徵值<math>O_i</math>，得到這本徵值的機率也為<math>p_i</math>。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態<math>|e_i\rang</math>。

將算符<math>\hat{O}</math>作用於量子態<math>|\psi\rang</math>，會形成新量子態<math>|\phi\rang</math>：
:<math>|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i  \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i  \ c_i O_i| e_i\rang</math>。

從左邊乘以量子態<math>\lang\psi|</math>，經過一番運算，可以得到
:<math>\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \  c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\  |c_i|^2O_i =\sum_i\  p_iO_i </math>。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量<math>O</math>的[[期望值 (量子力學)|期望值]]：
:<math>\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\  p_iO_i </math>。

===厄米算符===
每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量<math>O</math>的期望值是實數： 
:<math>\lang O\rang=\lang O\rang^*</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rang</math>，這關係都成立：
:<math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*</math>。

根據[[伴隨算符]]的定義，假設<math>\hat{O}^{\dagger}</math>是<math>\hat{O}</math>的伴隨算符，則<math>\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang</math>。因此，
:<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}</math>。

這正是[[厄米算符]]的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。<ref name=Griffiths2004/>{{rp|96-99}}

==不相容可觀察量==
假若兩種可觀察量的[[對易算符]]不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：<ref name=Griffiths2004/>{{rp|110-112}}
:<math>[\hat{A},\hat{B}]\ne 0</math>；

其中，<math>\hat{A}</math>、<math>\hat{B}</math>分別是可觀察量<math>A</math>、<math>B</math>的算符。

這兩種算符<math>\hat{A}</math>與<math>\hat{B}</math>絕對不會有共同的基底。一般而言，<math>\hat{A}</math>的本徵態與<math>\hat{B}</math>的本徵態不同{{noteTag|通常這句話成立，但也存在有例外。思考[[氫原子]]的[[角量子數]]為零（<math>\ell=0\ </math>）的量子態，它是<math>L_x</math>、<math>L_y</math>、<math>L_z</math>的本徵態，本徵值都為零，而這三個自伴算符都互不對易，它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。<ref>{{citation | language = en | author = A. P. French| title = An Introduction to Quantum Phusics| date = 1978 | publisher = W. W. Norton, Inc.| isbn = 9780748740789|pages=pp. 452-453}}</ref>}}假設量子系統的量子態為<math>|\psi\rang</math>。對於算符<math>\hat{A}</math>，所有本徵值為<math>a_i</math>的本徵態<math>|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n</math>，形成一個基底。量子態<math>|\psi\rang</math>可以表示為這組基底本徵態的[[線性組合]]：
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang</math>；

其中，<math>c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang</math>是複係數，是在量子態<math>|\alpha_i\rang</math>裏找到量子態<math>|\psi\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

對於算符<math>\hat{B}</math>，所有本徵值為<math>b_i</math>的本徵態<math>|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n</math>，形成了另外一個基底。量子態<math>|\psi\rang</math>可以表示為這組基底本徵態的[[線性組合]]：
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang</math>；

其中，<math>d_i=\lang \beta_i |\psi \rang</math>是複係數，是在量子態<math>|\beta_i\rang</math>裏找到量子態<math>|\psi\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

對於量子系統的可觀察量<math>A</math>做測量，可能得到的結果是各種本徵態<math>|\alpha_i\rang</math>的本徵值<math>a_i</math>，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為[[機率分佈]]，結果為<math>a_i</math>的機率是<math>|c_i|^2</math>。

假設測量的結果是本徵值<math>a_j</math>，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態<math>|\alpha_j\rang</math>。假若立刻再測量可觀察量<math>A</math>，由於量子態仍舊是本徵態<math>|\alpha_j\rang</math>，所得到的測量值是本徵值<math>a_i</math>機率為1。假若立刻再對本徵態<math>|\alpha_j\rang</math>測量可觀察量<math>B</math>，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值<math>b_k</math>，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態<math>|\beta_k\rang</math>。

根據[[不確定性原理]]，
:<math>\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right| </math>。

設定<math>\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right| </math>。假設，<math>A</math>與<math>B</math>是兩個不相容可觀察量，則<math>\chi>0</math>。而<math>A</math>的不確定性與<math>B</math>的不確定性的乘積<math>\Delta A\ \Delta B </math>，必定大於或等於<math>\chi</math>。

==實例==
為了具體計算位置與動量的[[期望值 (量子力學)|期望值]]，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的[[波函數]]來表示，使用對應的代數算符。

===位置與動量===
位置<math>x</math>，動量<math>p</math>都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：
:<math>\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^*  \psi \ dx=\lang x\rang^*</math>，
:<math>\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\lang p\rang^*</math>。

===角動量===
在三維空間裏，[[角動量算符]]的x-分量<math>\hat{L}_x</math>是厄米算符。因為
:<math>\lang L_x\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang</math>；

其中，<math>y</math>與<math>z</math>分別是位置的y-分量與z-分量，<math>p_y</math>與<math>p_z</math>分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量<math>\hat{L}_y</math>也是厄米算符。

==參閱==
*[[位置算符]]
*[[動量算符]]
*[[角動量算符]]
*[[哈密頓算符]]

==註釋==
{{noteFoot}}

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:量子力學|K]]