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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''可表函子'''是在[[数学]]中[[范畴论]]里的概念，指从任意[[範疇 (數學)|范畴]]到[[集合范畴]]的一种特殊[[函子]]。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即[[集合 (数学)|集合]]与[[函数]]），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。

从另外一个角度看，范畴的可表函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作[[偏序集合]]理论中的[[上闭集合]]以及[[群论]]中的[[凱萊定理]]的极大的推广。

==定义==

设 <math> \mathcal{C} </math> 为[[範疇 (數學)#定義|局部小范畴]]，并记[[集合范畴]]为 <math> \mathbf{Set} </math> 。对 <math> \mathcal{C} </math> 中的每个对象 <math> A </math> 以 <math> \operatorname{Hom}(A,-) </math> 指代将对象 <math> X </math> 映到集合 <math> \operatorname{Hom}(A,X) </math> 的[[Hom函子]]。

[[函子]] <math> F:\mathcal{C}\to\mathbf{Set} </math> 是'''可表的'''当存在某个 <math> \mathcal{C} </math> 中的对象 <math> A </math> 使得 <math> F </math> [[自然變換#定義|自然同构]]于 <math> \operatorname{Hom}(A,-) </math>。而满足
: <math> \Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F </math> 
为自然同构的对 <math> (A,\Phi) </math> 则称为 <math> F </math> 的一个'''表示'''。

从 <math> \mathcal{C} </math> 到 <math> \mathbf{Set} </math> 的[[反变函子]] <math> G </math> 不过是（协变）函子 <math> G : \mathcal{C}^\mathrm{op}\to\mathbf{Set} </math>，常被称作[[預層 (范疇論)|预层]]。与协变的情况相似，预层是'''可表的'''当它自然同构与某个反变的Hom函子 <math> \operatorname{Hom}(-,A) </math>，其中 <math> A </math> 是 <math> \mathcal{C} </math> 中的某个对象。

==泛元素==

根据[[米田引理]]，从 <math> \operatorname{Hom}(A,-) </math> 到 <math> F </math> 的[[自然變換|自然变换]]与集合 <math> F(A) </math> 一一对应。给定自然变换 <math> \Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F </math>，与之对应的元素 <math> u\in F(A) </math> 由
:<math>u = \Phi_A(\mathrm{id}_A).\,</math>
给出。反之，给定元素 <math> u\in F(A) </math>，可以如下定义自然变换 <math> \Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F </math>
:<math>\Phi_X(f) = (Ff)(u) ,\,</math>
其中 <math>f</math> 是 <math> \operatorname{Hom}(A,X) </math> 中的任意元素。为了得到 <math> F </math> 的表示，我们需要确定 <math> u </math> 诱导的自然变换何时会是同构。这引导出如下定义：
:函子 <math> F:\mathcal{C}\to\mathbf{Set} </math> 的'''泛元素'''是由 <math> \mathcal{C} </math> 中的对象 <math> A </math> 与 <math> F(A) </math> 中的元素 <math> u </math> 组成的一对 <math> (A,u) </math>，使得对于任意满足' <math> v\in F(X) </math> 的对 <math> (X,v) </math>，都存在唯一映射 <math> f:A\to X </math> 使得 <math> (Ff)(u)=v </math> 。
泛元素还可看作从单点集合 <math> \{\cdot\} </math> 到函子 <math> F </math> 的[[泛性质#定义|泛态射]]，又或者看作 <math> F </math> 的[[元素范畴]]中的[[始对象和终对象|始对象]]。

这样，由元素 <math> u\in F(A) </math> 诱导的自然变换是自然同构当且仅当 <math> (A,u) </math> 是 <math> F </math> 的泛元素。由此可以得出 <math> F </math> 的表示与 <math> F </math> 的泛元素之间的一一对应。为此，泛元素 <math> (A,u) </math> 常常也被称为表示。

==范例==

* 考虑反变函子 <math>P:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}</math>，将集合映到其[[冪集]]、将函数映到其[[原像]]映射。要表示这个函子，我们需要一对 <math>(A,u)</math>，其中 <math>A</math> 是集合而 <math>u</math> 是 <math>A</math> 的子集（即 <math>P(A)</math> 中的元素），使得对于任意集合 <math>X</math>，态射集合 <math>\operatorname{Hom}(X,A)</math> 通过函数 <math>\Phi_X(f)=(Pf)u=f^{-1}(u)</math> 与 <math>P(X)</math> 双射。取 <math>A=\{0,1\}</math> 及 <math>u=\{1\}</math>，那么给定任意子集 <math>S\subseteq X</math>，对应的函数 <math>X\to A</math> 正是 <math>S</math> 的[[示性函数]]。
*映到 <math>\mathbf{Set}</math> 的[[遺忘函子]]常常是可表的。特别地，每当 <math>A</math> 是由单个生成元 <math>u</math> 组成的[[单元素集合]]上的[[自由對象]]，遗忘函子都由 <math>(A,u)</math> 所表示，如：
** [[群范畴]]上的遗忘函子 <math>\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}</math> 由 <math>(\mathbb{Z},1)</math> 所表示。
** [[环范畴]]上的遗忘函子 <math>\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}</math> 由整系数单变元[[多项式环]] <math>(\mathbb{Z}[x],x)</math> 所表示。
** <math>k</math>-向量空间范畴上的遗忘函子 <math>k\textrm{-}\mathbf{Vect}\to\mathbf{Set}</math> 由 <math>(k,1)</math> 所表示。
** [[拓撲空間範疇]]上的遗忘函子 <math>\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}</math> 由单元素拓扑空间和其唯一元素所表示。
*[[群]] <math>G</math> （甚至[[广群]]）可以视作只有单个对象（记作 <math>\cdot</math>）的范畴。从这个范畴 <math>G</math> 到 <math>\mathbf{Set}</math> 的每个函子都对应于一个 [[群作用|<math>G</math>-集合]]；其中从 <math>G</math> 到 <math>\mathbf{Set}</math> 唯一的Hom函子 <math>\operatorname{Hom}(\,\cdot\,,-)</math> 对应于底集合为 <math>G</math>、作用为 <math>G</math> 中左乘法的典范 <math>G</math>-集合。借助群论中的标准论证可知从 <math>G</math> 到 <math>\mathbf{Set}</math> 函子可表当且仅当其对应的 <math>G</math>-集合为正则的（即自由且可递；这类 <math>G</math>-集合也称为 [[主齐性空间|<math>G</math>-旋子]]或[[堆 (数学)|堆]]），而为这个函子选择一个表示即相当于为这个堆选择一个恒等元。
*设 <math> \mathcal{C} </math> 为对象是[[CW复形]]、态射为连续映射的同伦类的范畴。对于每个自然数 <math> n </math> 存在一个反变函子 <math>H^n:\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}</math>，将每个CW复形映到其  <math> n </math> 阶（整系数）[[上同调|上同调群]]。与[[阿贝尔群]]范畴上的遗忘函子复合后即得到一个从 <math> \mathcal{C} </math> 到 <math> \mathbf{Set} </math> 的[[反变函子]]。[[代数拓扑]]中的[[布朗可表性定理]]声明这个函子可由一个CW复形 <math>K(\mathbb{Z},n)</math> 所表示；这个CW复形被称为[[艾伦伯格-麦克兰恩空间]]。
==性质==

===唯一性===

函子的表示在同构的意义下唯一。换言之，如果 <math>(A_1,\Phi_1)</math> 与 <math>(A_2,\Phi_2)</math> 表示同一个函子，那么存在唯一的同构 <math>\varphi:A_1\to A_2</math> 使得
:<math>\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2 = \mathrm{Hom}(\varphi,-)</math>
作为从 <math>\operatorname{Hom}(A_2,-)</math> 到 <math>\operatorname{Hom}(A_1,-)</math> 自然同构相等。这一事实可由[[米田引理]]简单得出。

用泛元素的语言表述如下：如果 <math>(A_1,u_1)</math> 与 <math>(A_2,u_2)</math> 表示同一个函子，那么存在唯一的同构 <math>\varphi:A_1\to A_2</math> 使得 
:<math>(F\varphi)u_1 = u_2.</math>

===保极限性===

可表函子自然同构于Hom函子，因而享有许多后者的性质。尤其值得注意的是，（协变）可表函子保持所有[[极限 (范畴论)|极限]]。由此可得，未能保持某些极限的函子都不是可表的。

相似地，反变可表函子把[[极限 (范畴论)|餘极限]]映到极限。

===左伴随===

如果函子 <math>K:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math> 带有[[左伴随]] <math>F:\mathbf{Set}\to\mathcal{C}</math>，那么它就可由 <math>(FX,\eta_X(\cdot))</math> 表示；这里 <math>X=\{\cdot\}</math> 是某个[[单元素集合]]，而 <math>\eta</math> 是伴随的单位。

反之，如果 <math>K</math> 由对 <math>(A,u)</math> 表示，且 <math>A</math> 的任意[[上幂]]<ref>对于集合 <math>I</math> 和 <math>\mathcal{C}</math> 中的对象 <math>A</math>，<math>A</math> 的 <math>I</math> 次上幂是指上积 <math>\coprod_{i\in I}A</math> 。</ref>在 <math>\mathcal{C}</math> 中都存在，那么 <math>K</math> 拥有左伴随 <math>F</math>，后者将任意集合 <math>I</math> 映到 <math>A</math> 的 <math>I</math> 次上幂。

所以，如果 <math>\mathcal{C}</math> 是带所有上幂的范畴，则函子 <math>K:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math> 是可表的当且仅当它拥有左伴随。

==与泛态射及伴随的关联==

[[泛性质|泛态射]]和[[伴隨函子|伴随函子]]这两个范畴论概念都可以用可表函子表达。

设 <math>G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}</math> 为函子，<math>X</math> 为 <math>\mathcal{C}</math> 中的对象。那么 <math>(A,\varphi)</math> 是从<math>X</math> 到 <math>G</math> 的泛态射当且仅当 <math>(A,\varphi)</math> 是函子 <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-):\mathcal{D}\to\mathbf{Set}</math> 的表示。由此可知 <math>G</math> 带有左伴随（记为 <math>F</math>）当且仅当函子 <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-)</math> 对于任意 <math>\mathcal{C}</math> 中的对象 <math>X</math> 都可表。此外，伴随正由自然同构 <math>\Phi_X:\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(FX,-)\to\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-)</math> 给出，即：
:<math>\Phi_{X,Y}\colon \mathrm{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)</math>
对于所有<math>X</math> 和 <math>Y</math> 都是（自然的）[[双射]]。

与之对偶的陈述也成立：设 <math>F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}</math> 为函子，<math>Y</math> 为 <math>\mathcal{D}</math> 中的对象。那么那么 <math>(A,\varphi)</math> 是从<math>F</math> 到 <math>Y</math> 的泛态射当且仅当 <math>(A,\varphi)</math> 是函子 <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(F-,Y):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math> 的表示。由此可知 <math>F</math> 带有右（记为 <math>G</math>）伴随当且仅当函子 <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(F-,Y)</math> 对于任意 <math>\mathcal{D}</math> 中的对象 <math>Y</math> 都可表。

== 注释 ==

{{reflist}}

== 参考文献 ==

*{{cite book | first = Saunders | last = Mac Lane | authorlink = Saunders Mac Lane | year = 1998 | title = [[Categories for the Working Mathematician]] | series = Graduate Texts in Mathematics '''5''' | edition = 2nd | publisher = Springer | isbn = 0-387-98403-8}}

[[Category:函子]]
[[Category:范畴论]]