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{{NoteTA|G1=Math}}
'''可羅薩里過剩數'''（{{lang|en|'''Colossally superabundant number'''}}，有時會簡稱'''CA'''）是指一正整數''n''，存在一正數ε，使得對於所有正整數'''m'''，下式恆成立：

:<math>\frac{\sigma(m)}{m^{1+\varepsilon}} < \frac{\sigma(n)}{n^{1+\varepsilon}}</math>

其中σ為[[除數函數]]，是所有正因數（包括本身）的和<ref name="Briggs"/>。

頭幾個超過剩數為：
[[2]], [[6]], [[12]], [[60]], [[120]], [[360]], 2520, 5040... {{OEIS|id=A004490}}

所有的可羅薩里過剩數都是[[超過剩數]]，但有些整數是超過剩數，而不是可羅薩里過剩數。

==歷史==
可羅薩里過剩數最早是由[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]所發現，他在1915年提出的相關[[高合成數]]的論文中原來有包括有可羅薩里過剩數的相關研究<ref name="Ramanujan"/>。不過因為期刊發行單位[[倫敦數學學會]]的財務問題，拉马努金為了減少論文的篇幅，願意刪除論文中有關可羅薩里過剩數的內容<ref name="papers"/>。拉马努金的研究和[[黎曼猜想]]有關．配合他提出的有關可羅薩里過剩數上下限的假設，可以證明一個稱為羅賓不等式的不等式在所有{{link-en|足夠大|sufficiently large}}的正整數''n''時都成立<ref name="1997_Ramanujan"/>。

拉马努金發現的可羅薩里過剩數比{{link-en|萊昂尼達斯·阿勞哥魯|Alaoglu}}及[[保羅·艾狄胥]]所發現的類似整數要嚴格一些些<ref name=Alaoglu/>。

==性質==
可羅薩里過剩數是由有許多因數的整數組成的數列，以除數函數和本身之間的闗係來判斷是否有很多因數。一正整數''n''的除數函數是所有''n''的正因數的和（包括1和''n''）。[[保羅·巴赫曼]]證明σ(''n'')的平均值大致接近π²''n''&nbsp;/&nbsp;6<ref name=HW/>。{{link-en|多瑪·哈肯·格朗沃爾|Thomas Hakon Grönwall}}提出的格朗沃爾定理證明σ(''n'')最大值的數量值略大於上述的公式，而且存在一個遞增數列''n''使得整數σ(''n'') 大致和''e''<sup>γ</sup>''n''log(log(''n''))大小相當，其中γ為[[欧拉-马歇罗尼常数]]<ref name=HW/>。可羅薩里過剩數需要在針對某一特定ε&nbsp;>&nbsp;0的條件下，下列函數在''n''為可羅薩里過剩數時有最大值：
:<math>\frac{\sigma(n)}{n^{1+\varepsilon}}</math>
保羅·巴赫曼及古倫沃爾證明了針對每個小於0的ε&nbsp;>&nbsp;0，此函數會有一最大值，而且當ε越接近0，最大值的數值會越大。因此有無窮多個Colossally過剩數，不過分佈的非常稀疏，在小於10<sup>18</sup>的範圍內只有22個<ref name="Lagarias"/>。

針對每一個ε值，上述的函數均存在一個全域極大值。但各ε值下函數的全域極大值可能有多個點，不一定只有一個點。阿勞哥魯及保羅·艾狄胥研究在一定特定值的ε值下，會有幾個不同的''n''使上述函數均為全域最大值，針對大多數的ε值，只有一個''n''使函數有全域最大值。不過艾狄胥和讓-路易·尼古拉（Jean-Louis Nicolas）證明有一些離散的ε值形成的集合，在該ε值下函數會有2或4個不同的''n''值，都會使函數有相同的全域最大值<ref name="Nicolas"/>。

Alaoglu及保羅·艾狄胥合作在1944年發表的論文中試圖證明二個連續可羅薩里過剩數之間的比值恆為[[質數]]，但沒有成功。後來將上述的敘述變成一個[[猜想]]，而且證明此猜想會依循[[超越數論]]中{{link-en|四個指數猜想|Four exponentials conjecture}}中的一個特例，也就是對於二相異的質數''p'',''q''及一實數''t''，只有在''t''為正整數時才能同時使''p''<sup>''t''</sup>及''q''<sup>''t''</sup>均為[[有理數]]。

根據{{link-en|六個指數定理|six exponentials theorem}}中有關三個質數的類似結果（也就是[[卡尔·西格尔]]聲稱由他本人證明的定理），阿勞哥魯及保羅·艾狄胥已證明二個連續可羅薩里過剩數之間的比值恆為[[質數]]或是[[半質數]]（二個相異質數乘積）。

阿勞哥魯及保羅·艾狄胥的猜想尚未被證實或推翻。若其猜想成立，表示存在一個由非相異質數組成的數列''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>,…，使得第''n''個可羅薩里過剩數可以用下式表示：

:<math>c_n = \prod_{i=1}^n p_{i}</math>

假設上述猜想成立，此質數數列的前幾項為2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 {{OEIS|id=A073751}}，而且所有的ε值下，函數只會有1或2的''n''值使函數有相同的全域最大值，沒有任何一個ε值會對應4個使函數有相同全域最大值的''n''值。

== 和黎曼猜想的關係 ==
1980年代[[蓋.羅賓]]證明[[黎曼猜想]]等於以下的不等式對於所有大於5040的正整數都成立<ref name="Robin"/>：
:<math>\sigma(n)<e^\gamma n \log\log n.\,</math>
當''n''&nbsp;=&nbsp;5040時上述等式不成立，但羅賓證明若黎曼猜想成立時，上述不等式只對部分小於5040的''n''會不成立，對任何大於5040的''n''都會成立，上述不等式稱為羅賓不等式。若除了5040外，仍有其他大於5040的正整數使羅賓不等式不成立，該些正整數中至少會有一個是可羅薩里過剩數，因此[[黎曼猜想]]也等於上述不等式對於所有大於5040的可羅薩里過剩數都成立。

==參考資料==
{{reflist|refs=
<ref name="Briggs">K. Briggs, "Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis", ''Experimental Mathematics'' 15:2 (2006), pp. 251–256, {{doi|10.1080/10586458.2006.10128957}}.</ref>
<ref name="Robin">G. Robin, "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'' 63 (1984), pp. 187-213.</ref>
<ref name="Ramanujan">S. Ramanujan, "Highly Composite Numbers", ''Proc. London Math. Soc.'' 14 (1915), pp. 347–407, {{MR|2280858}}.</ref>
<ref name="papers">S. Ramanujan, ''Collected papers'', Chelsea, 1962.</ref>
<ref name="1997_Ramanujan">S. Ramanujan, "Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicholas
and G. Robin", ''Ramanujan Journal'' 1 (1997), pp. 119–153.</ref>
<ref name=Alaoglu>L. Alaoglu, P. Erdős, "On highly composite and similar numbers", ''Trans. Amer. Math. Soc.'' 56:3 (1944), pp. 448–469, {{MR|0011087}}.</ref>
<ref name="Lagarias">J. C. Lagarias, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0008177/ An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis], ''American Mathematical Monthly'' 109 (2002), pp. 534–543.</ref>
<ref name=HW>G. Hardy, E. M. Wright, ''An Introduction to the Theory of Numbers. Fifth Edition'', Oxford Univ. Press, Oxford, 1979.</ref> 
<ref name="Nicolas">P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Répartition des nombres superabondants", ''Bull. Math. Soc. France'' 103 (1975), pp. 65–90.</ref>
}}

==外部連結==
*[http://keithbriggs.info/abundant.html Keith Briggs on colossally abundant numbers and the Riemann hypothesis] {{Wayback|url=http://keithbriggs.info/abundant.html |date=20190126194404 }}
*[http://mathworld.wolfram.com/ColossallyAbundantNumber.html MathWorld entry] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/ColossallyAbundantNumber.html |date=20201112013746 }}
*[http://keithbriggs.info/documents/RH_abundant-pp.pdf Notes on the Riemann hypothesis and abundant numbers] {{Wayback|url=http://keithbriggs.info/documents/RH_abundant-pp.pdf |date=20170705122405 }}
*[http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?year=&number=&name=&title=robin More on Robin's formulation of the RH] {{Wayback|url=http://www.mpim-bonn.mpg.de/preprints/send?year=&number=&name=&title=robin |date=20220216055628 }}

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[[Category:除數函數]]
[[Category:整数数列|C]]