查看“︁可积函数”︁的源代码

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| G1=Math
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[[数学]]上，'''可积函数'''是存在[[积分]]的[[函数]]。除非特别指明，一般积分是指[[勒贝格积分]]。否则，称函数为"黎曼可积"（也即[[黎曼积分]]存在），或者"[[Henstock-Kurzweil积分|Henstock-Kurzweil可积]]"，等等。

注意，函数可以有[[不定积分]]（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数
:<math>F(x)=\sin(x)</math>
是
:<math>f(x)=\cos(x)</math>

的不定积分，但是''f''(''x'')不是[[实数]]上的可积函数。这种情况在不定积分在每个方向都有极限的时候也可能成立，例如
:<math>F(x)=\sin(x)/x</math> <math>(x\ge 1)</math>

其导数<math>f(x)=\cos(x)/x-\sin(x)/x^2</math>不是从1到无穷可积的。积分区间不是无穷的时候也会出现这种情况，譬如不定积分
:<math>F(x)=x \sin(1/x)</math> <math>(0<x\le1)</math>

其导数<math>f(x)=\sin(1/x)-\cos(1/x)/x</math>不是从0到1可积的。（无论f(x)在0点取何值，它都是在该点不连续的，而F'(0)无定义，所以[[微积分基本定理]]在[0, 1]上不适用。）

==勒贝格可积性==
给定集合''X''及其上的[[σ-代数]]σ和σ上的一个[[测度]]，实值函数''f'':''X''&nbsp;→&nbsp;''R''是'''可积的'''如果正部''f''<sup>&nbsp;+</sup>和负部''f''<sup>&nbsp;−</sup>都是可测函数并且其[[勒贝格积分]]有限。令
:<math>f^+ = \max (f,0), \ f^- = \max(-f,0) </math>

为''f''的"正部"和"负部"。如果''f''可积，则其[[积分]]定义为
:<math>
\int f =\int f^+  - \int f^-.
</math>

对于[[实数]] ''p'' ≥ 0，函数''f''是'''''p''-可积的'''如果|''f''|<sup>''p''</sup>是可积的；对于''p'' = 1，也称'''绝对可积'''。（注意''f''(''x'')是可积的当且仅当|''f''(''x'')|是可积的，所以"可积"和"绝对可积"在勒贝格意义下等价。）术语'''''p''-可和'''也是一样的意义，常用于''f''是一个序列，而μ是离散测度的情况下。

这些函数组成的[[Lp空间|''L <sup>p</sup>''空间]]是[[泛函分析]]研究中的主要对象之一。

==平方可积==<!-- https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrable_function&oldid=381235621 -->
我们说一个实变或者复变量的[[实数|实值]]或者[[复数 (数学)|复值]]函数是在[[区间]]上'''平方可积的'''，如果其[[绝对值]]的平方在该区间上的积分是有限的。所有在勒贝格积分意义下平方可积的[[可测函数]]构成一个[[希尔伯特空间]]，也就是所谓的[[Lp空间|L<sup>2</sup>空间]]，[[几乎处处]]相等的函数归为同一[[等价类]]。<ref>{{springer|title=''L''<sup>''p''</sup> spaces|id = Lp_spaces&oldid=38883|author = Kvale |year = 2016}}
</ref>形式上，''L''<sup>2</sup>是平方可积函数的空间和几乎处处为0的函数空间的[[商空间]]。

这在[[量子力学]]上很有用，因为[[波函数]]必须在空间上平方可积才能从理论中得到物理可能解。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:实分析]]
[[Category:函数]]