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[[數學]]上，'''可測基數'''是一類[[大基數]]。為了定義此概念，考慮基數 ''κ'' 上僅取兩值（0 或 1）的[[測度]]。如此的測度可看成將 ''κ'' 的所有[[子集]]分成兩類：大和小，使得 ''κ'' 本身為大，但 ∅ 和所有[[單元素集合]] <math>\{\alpha\}, \alpha \in \kappa</math> 皆為小，且小集的[[補集]]為大，反之亦然。同時還要求少於 ''κ'' 個大集的[[交集]]仍為大。<ref>{{harvnb|Maddy|1988}}</ref>

具有以上二值測度的[[不可數集|不可數]]基數是[[大基數]]，[[ZFC]] 無法證明其存在。<ref>{{harvnb|Jech|2002}}</ref>

可測基數的概念最早由[[斯塔尼斯拉夫·烏拉姆]]於 1930 年提出。<ref>{{harvnb|Ulam|1930}}</ref>

== 定義 ==
可測基數的正式定義如下。可測基數是不可數的[[基數 (數學)|基數]] ''&kappa;'', 其[[冪集]]上存在一個 '''κ-可加'''的'''二值'''的'''非平凡'''[[測度]]。此處，''&kappa;-可加'' 意思是，對任意一列長度為 ''&lambda;''&nbsp;<&nbsp;''&kappa;'' 的集合 ''A''<sub>''&alpha;''</sub> (''&alpha;''<''&lambda;''), 若 ''A''<sub>''&alpha;''</sub> 是 ''&kappa;'' 的兩兩不交的子集（即其元素為小於 ''&kappa;'' 的[[序數]]），則 ''A''<sub>''&alpha;''</sub> 的並的測度等於逐個 ''A''<sub>''&alpha;''</sub> 測度之和。而 ''二值'' 意思是僅取值為 0 或 1。

等價的說法是， ''κ'' 可測當且僅當其為從[[全集|全類]] ''V'' 射向[[传递集合#传递类|傳遞類]] ''M'' 的某個非平凡[[基本子結構|基本嵌入]]的{{link-en|臨界點 (集合論)|critical point (set theory)|臨界點}}。此項等價關係由{{link-en|傑爾姆·開斯勒|Jerome Keisler}}<!--參傑爾姆·卡爾 (Jerome Karle) 和皮特·基斯勒 (Peter Keisler) 暫譯-->和[[達納·斯科特]]證明，其用到[[模型論]]中的[[超積]]構造。由於 ''V'' 是[[真類]]，取超積時，需要考慮某些平時無須考慮的技術問題，但可用{{link-en|斯科特技巧|Scott's trick}}解決。

再換句話說，基數 ''κ'' 可測當且僅當其為不可數，且有 '''κ-完備'''的非主[[超濾子]]。此處 κ-完備意指，在超濾子中，取任意嚴格少於 ''&kappa;'' 個集合，其交仍在超濾子中。

== 性質 ==
雖然從 [[ZFC]] 可得，每個可測基數皆為[[不可達基數|不可達]]（且為{{link-en|玄妙基數|Ineffable cardinal}}和{{link-en|拉姆齊基數|Ramsey cardinal
}}），但命題「有可測基數是{{link-en|後繼基數|Successor cardinal}}」與 [[策梅洛-弗蘭克爾集合論|ZF]] 相容。從 ZF+AD（[[決定公理]]）可得 ''ω''<sub>1</sub> 可測，且 ''ω''<sub>1</sub> 的每個子集必定包含某個[[閉無界集]]，或者與某個閉無界集不交。

烏拉姆證明了，若基數 ''κ'' 上有非平凡的'''可數可加'''二值測度，且 ''κ'' 是該些基數中最小的一個，則其上有 '''κ-可加'''的測度。（若有少於 ''κ'' 個零測集，其並集為 ''κ'', 則此族子集上的導出測度是一個反例，其與 ''κ'' 的最小性矛盾。）由此，（利用[[選擇公理]]）可以證明，此種基數中最小的一個必不可達。證明如下：

若 ''κ'' 有非平凡的 ''κ''-可加測度，則 ''κ'' 必為{{link-en|正則基數|regular cardinal}}。（因為其為非平凡且 ''κ''-可加，任何元素個數比 ''κ'' 少的集合的測度皆為 0, 於是，再次使用 ''κ''-可加性，可知 ''κ'' 不能表示成少於 ''κ'' 個大小小於 ''κ'' 的集合的並。）若 ''λ'' < ''κ'', 則不能有 ''κ'' ≤ 2<sup>''λ''</sup>，原因是：若果然有 ''κ'' ≤ 2<sup>''λ''</sup>, 則可以視 ''κ'' 為若干列長為 ''λ'' 的 0-1 序列的集合。對於序列的每個位置，考慮該位為 1 的序列組成的子集，和該位為 0 的序列組成的子集，兩者之一的測度必為 1 。於是，得到 ''λ'' 個測度為 1 的子集，故其交集亦具有測度 1，但此交集僅得一個元素，即測度是平凡的，矛盾。所以，假定選擇公理，就得知 ''κ'' 是{{link-en|強極限基數|strong limit cardinal}}。至此證畢 ''κ'' 為不可達基數。

若 ''&kappa;'' 可測，''p''&isin;''V''<sub>''&kappa;''</sub> 且 ''M'' (''V'' 的超冪) 滿足 ''&psi;''(''&kappa;'',''p'')，則令 ''V'' 滿足 ''&psi;''(''&alpha;'',''p'') 的 ''&alpha;''&nbsp;<&nbsp;''&kappa;'' 組成的集合是 ''&kappa;'' 中的{{link-en|不動集|stationary set}}（同時測度亦為 1 ）。
特別地，若 ''&psi;'' 是 &Pi;<sub>1</sub> 式，且 ''V'' 滿足 ''&psi;''(''&kappa;'',''p'')， 則 ''M'' 亦滿足該式，故對於某個不動集中的 ''&alpha;''&nbsp;<&nbsp;''&kappa;''，''V'' 滿足 ''&psi;''(''&alpha;'',''p'') 。此性質適用於證明 ''&kappa;'' 是若干種（較可測基數弱的）大基數的極限。注意，見證 ''&kappa;'' 可測的超濾子不能在 ''M'' 中，否則此種可測基數之中，最小的一個以下還有另一個，矛盾。

若從某個以 ''&kappa;'' 為{{link-en|臨界點 (集合論)|critical point (set theory)|臨界點}} 的基本嵌入 ''j''<sub>1</sub> （從 ''V'' 到 ''M''<sub>1</sub>）着手，則先定義 
''&kappa;'' 上的超濾子 ''U'' 為 { ''S''⊆''&kappa;'' : ''&kappa;''&isin;''j''<sub>1</sub>(''S'') }。然後，取 ''V'' 在 ''U'' 上的超冪，可得另一個基本嵌入 ''j''<sub>2</sub>，其將 ''V'' 嵌入到 ''M''<sub>2</sub>。然而，記得 ''j''<sub>2</sub> ≠ ''j''<sub>1</sub>，所以其他種類的大基數，例如{{link-en|強基數|Strong cardinal}}，也可以同時可測，但並非利用同一個嵌入。可以證明，若強基數 ''&kappa;'' 可測，則其下有 ''&kappa;'' 多個可測基數。

每個可測基數 ''&kappa;'' 皆為 0-{{link-en|巨基數|huge cardinal}}，因為 <sup>''&kappa;''</sup>''M''⊆''M''，即每個由 ''&kappa;'' 射到 ''M'' 的函數也在 ''M'' 中。所以 ''V''<sub>''&kappa;''+1</sub>⊆''M''。

== 實值可測 ==
若基數 ''κ'' 的冪集上，有 ''κ''-可加的[[概率測度]]，其於單元集的取值為零，則稱 ''κ'' 為'''實值可測'''。實值可測基數由{{harvs|txt|authorlink=斯特凡·巴拿赫|first=Stefan|last=Banach|year=1930}} 引入。{{harvtxt|Banach|Kuratowski|1929}} 證明了[[連續統假設]]推出 <math>{\mathfrak c} </math> （連續統）並非實值可測。{{harvs|txt|authorlink=斯塔尼斯拉夫·烏拉姆|first=Stanislaw|last= Ulam|year=1930}} 證明（以下給出一部分）了實值可測基數皆為弱不可達（事實上，亦是弱{{link-en|馬洛基數|Mahlo cardinal}}）。所有可測基數皆為實值可測，而實值可測基數 ''κ'' 可測當且僅當 ''κ'' 大於 <math>{\mathfrak c} </math>. 故一個基數可測當且僅當其既實值可測，又強不可達。小於或等於 <math>{\mathfrak c} </math> 的實值可測基數存在當且僅當[[勒貝格測度]]具有擴展到任意實數集的[[可加性|可列可加]]擴展，亦當且僅當某個非空集的冪集上，存在一個無{{link-en|原子 (測度論)|atom (measure theory)}}的概率測度。

{{harvtxt|Solovay|1971}} 證明了 ZFC 中可測基數的存在性，ZFC 中實值可測基數的存在性，與 ZF 中可測基數的存在性皆是{{link-en|等相容|equiconsistency}}的。

=== 實值可測基數皆弱不可達 ===
稱基數 <math>\alpha</math> 為'''烏拉姆數'''若以下條件成立：<ref>{{harvnb|Federer|1996|loc=第 2.1.6 節}}</ref><ref group=nb>與條目[[烏拉姆數列]]無關。</ref><p>
若
# <math>\mu</math> 是集合 <math>X</math> 上的[[外測度]]，
# <math>\mu(X) < \infty,</math>
# <math>\mu(\{x\}) = 0, \forall x \in  X,</math>
# 所有 <math>A \subset X</math> 皆 {{math|''μ''}}-可測,
則
::<math>\operatorname{card} X \le \alpha\Rightarrow\mu(X) = 0.</math>

等價地，基數 <math>\alpha</math> 為烏拉姆數若以下條件成立：<p>
若
# <math>\nu</math> 為集合 <math>Y</math> 上的外測度，且 <math>F</math> 是 <math>Y</math> 的若干不交子集組成的族，
# <math>\nu\left(\bigcup F\right) < \infty,</math>
# 對所有 <math>A \in F,</math> <math>\nu(A) = 0.</math>
# 對所有 <math>G \subset F,</math> <math>\bigcup G</math> 皆為 {{math|''ν''}}-可測， 
則
::<math>\operatorname{card} F \le \alpha\Rightarrow\nu\left(\bigcup F\right) = 0.</math>

最小的無窮基數 <math>\aleph_0</math> 為烏拉姆數。全體烏拉姆數組成的類關於後繼運算封閉（即若某基數為烏拉姆數，則其{{link-en|後繼基數|successor cardinal}}亦為烏拉姆數。）<ref>{{harvnb|Federer|1996|loc=第 2.1.6. 節的定理，第二部分}}</ref> 證明如下。設烏拉姆數 <math>\alpha</math> 的後繼基數是無窮基數 <math>\beta</math>, 又不妨只考慮取 <math>X = \beta</math>. 設 <math>\mu</math> 滿足條件 {{math|(1)&ndash;(4)}}, 則只需證明 <math>\mu(\beta) = 0.</math> 按[[序数#序数的冯·诺伊曼定义|序數的馮·諾伊曼定義]]，揀[[單射]]

:<math>f_x:x \rightarrow \alpha, \quad \forall x \in \beta,</math>

並定義集合

:<math>U(b, a) = \{x \in \beta: f_x(b) = a\}, \quad a \in \alpha, b \in \beta.</math>

因為 <math>f_x</math> 為單射，對於固定的 <math>a</math>, 集族 <math>\left\{U(b, a): b\in \beta\right\}</math> 是不交族。此外，對於固定的 <math>b</math>, 集族 <math>\left\{U(b, a): a\in \alpha\right\}</math> 亦是不交族。根據 <math>\mu</math> 的性質 (2), 集合 <math>\left\{b \in \beta: \mu(U(b, a)) > 0\right\}</math> [[可數集|可數]]，故

:<math>\operatorname{card}\left\{(b, a) \in \beta \times \alpha |\mu(U(b, a)) > 0\right\} \le \aleph_0 \cdot \alpha = \alpha.</math>

所以，存在 <math>b_0</math> 使得

:<math>\mu(U(b_0, a)) = 0 \quad \forall a \in \alpha,</math>

而由於 <math>\alpha</math> 是烏拉姆數，由第二定義（取 <math>\nu = \mu</math>, 則條件 {{math|(1)&ndash;(4)}} 皆符合），可得

:<math>\mu\left(\bigcup_{a \in \alpha}U(b_0, a)\right) = 0.</math>

若 <math>b_0 < x < \beta,</math> 則 <math>f_x(b_0) = a_x \Rightarrow x\in U(b_0, a_x).</math> 所以

:<math>\beta = b_0 \cup \{b_0\} \cup \bigcup_{a \in \alpha}U(b_0, a),</math>

由性質 {{math|(2)}}, <math>\mu\{b_0\} = 0,</math> 又因為 <math>\operatorname{card} b_0 \le \alpha</math>, 由性質 {{math|(4), (2)}} 和 {{math|(3)}}, 得到 <math>\mu(b_0) = 0.</math> 由此得到  <math>\mu(\beta) = 0.</math> 至此證畢 <math>\beta</math> 為烏拉姆數。

類似可證<ref>{{harvnb|Federer|1996|loc=第 2.1.6. 節的定理，第一部分}}</ref> 若  <math>S</math> 為烏拉姆數多個烏拉姆數組成的集合，則其上確界亦為烏拉姆數。結合前一個結論，得知若某基數並非烏拉姆數，則必為弱[[不可達基數]]。

== 相關條目 ==
* {{link-en|正規測度|Normal measure}}
* {{link-en|米切爾序|Mitchell order}} <!--參彼得·丹尼斯·米切爾 (Peter Dennis Mitchell) 暫譯-->
* {{link-en|大基數性質列表|List of large cardinal properties}}

== 注釋 ==
{{reflist|group=nb}}

== 引用 ==
{{reflist|2}}

== 參考資料 ==
*{{Citation | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=Stefan Banach | title=Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen | url=https://eudml.org/doc/212335 | year=1930 | journal={{tsl|en|Fundamenta Mathematicae||Fundamenta Mathematicae}} | issn=0016-2736 | volume=15 | pages=97–101 | doi=10.4064/fm-15-1-97-101 | accessdate=2020-09-29 | archive-date=2018-08-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180808202610/https://eudml.org/doc/212335 | dead-url=no }}.
*{{Citation | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=Stefan Banach | last2=Kuratowski | first2=Kazimierz | author2-link=卡齊米日·庫拉托夫斯基 | title=Sur une généralisation du probleme de la mesure | url=https://eudml.org/doc/212126 | year=1929 | journal={{tsl|en|Fundamenta Mathematicae||Fundamenta Mathematicae}} | issn=0016-2736 | volume=14 | pages=127–131 | doi=10.4064/fm-14-1-127-131 | accessdate=2020-09-29 | archive-date=2018-08-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180808172243/https://eudml.org/doc/212126 | dead-url=no }}.
*{{Citation|author=Drake, F. R.|title=Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76)|publisher=Elsevier Science Ltd|year=1974|isbn= 978-0-7204-2279-5}}.
*{{Citation|ref=harv|title=Geometric Measure Theory|series=Classics in Mathematics|edition=1st ed reprint|location=Berlin, Heidelberg, New York|orig-year=1969|year=1996|isbn=978-3540606567|publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer Verlag]]|last=Federer|first=H.|authorlink=Herbert Federer}}.
*{{Citation|author=Jech, Thomas|title=Set theory, third millennium edition (revised and expanded)|publisher=Springer|year=2002|isbn=3-540-44085-2|authorlink=Thomas Jech}}.
*{{Citation|last=Kanamori|first=Akihiro|authorlink=Akihiro Kanamori|year=2003|publisher=Springer|title=The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings|title-link=The Higher Infinite|edition=2nd|isbn=3-540-00384-3}}.
*{{Citation|last=Maddy|first=Penelope|authorlink=Penelope Maddy|journal=The Journal of Symbolic Logic|title=Believing the Axioms. II|year=1988|volume=53|issue=3|pages=736–764|doi=10.2307/2274569|jstor=2274569|url=https://semanticscholar.org/paper/8d3d986c97fa971246dffd101c411d4e071c4155}}. 該文章的第一與第二部分（連同訂正）可於[http://faculty.sites.uci.edu/pjmaddy/bibliography/ 作者網頁] {{Wayback|url=http://faculty.sites.uci.edu/pjmaddy/bibliography/ |date=20171112060541 }}下載。
*{{Citation | last1=Solovay | first1=Robert M. | author1-link=Robert M. Solovay | title=Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. |mr=0290961 | year=1971 | chapter=Real-valued measurable cardinals | pages=397–428}}.
*{{Citation | last1=Ulam | first1=Stanislaw | authorlink=斯塔尼斯拉夫·烏拉姆 | title=Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre | url=https://eudml.org/doc/212487 | year=1930 | journal={{tsl|en|Fundamenta Mathematicae||Fundamenta Mathematicae}} | issn=0016-2736 | volume=16 | pages=140–150 | doi=10.4064/fm-16-1-140-150 | accessdate=2020-09-29 | archive-date=2020-02-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200204210311/https://eudml.org/doc/212487 | dead-url=no }}.

[[分類:測度論]]
[[Category:大基數]]