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'''可数选择公理'''，指示为<math>\text{AC}_\omega</math>，是[[公理化集合论]]的类似于[[选择公理]]的一个[[公理]]。它声称非空集合的任何[[可数集合|可数]]搜集都一定有[[选择函数]]。[[保羅·寇恩]]证明了AC<sub>ω</sub>在[[Zermelo-Fraenkel集合论]]（<math>\text{ZF}</math>）中是不可证明的。

<math>\text{ZF}+\text{AC}_\omega</math>足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有[[无限集合]]都是[[戴德金无限集合|戴德金无限]]的（等价的说：有可数无限的真子集）。<math>\text{AC}_\omega</math>对于开发[[数学分析]]特别有用，这里的很多结果依赖于[[实数]]的可数集合有选择函数（考虑为[[有理数]]的[[柯西序列]]的集合）。

<math>\text{AC}_\omega</math>是弱形式的[[选择公理]]（AC），它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个[[选择函数]]。AC明确的蕴涵了[[依赖选择公理]]（DC），而DC足够证明<math>\text{AC}_\omega</math>。但是<math>\text{AC}_\omega</math>要严格弱于DC（而DC严格弱于AC）。

==用法==
作为应用<math>\text{AC}_\omega</math>的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在<math>\text{ZF}+\text{AC}_\omega</math>中）：

:设<math>X</math>是无限的。对于每个自然数<math>n</math>，设<math>A_n</math>是''<math>X</math>''的所有<math>2^n</math>元素子集的集合。因为''<math>X</math>''是无限的，每个''<math>A_n</math>''是非空的。對序列''<math>A_n</math>''应用<math>\text{AC}_\omega</math>，便得到了序列（<math>B_n:n=0,1,2,3,\ldots</math>)，这里的每个<math>B_n</math>是有<math>2^n</math>个元素的''<math>X</math>''的子集。
:集合''<math>B_n</math>''可能是相交的，但是我们可以定义
::<math>C_0=B_0</math>
::<math>C_n</math>是<math>B_n</math>与所有<math>C_j</math>的并集的差集，<math>j<n</math>。
:明显的每个集合''<math>C_n</math>''都有至少1個和至多<math>2^n</math>个元素，而集合''<math>C_n</math>''是兩兩不相交的。再對序列''<math>C_n</math>''應用<math>\text{AC}_\omega</math>，便得到了序列<math>(c_n:n=0,1,2,\ldots)</math>，其中<math>c_n\in C_n</math>。
:所以所有<math>c_n</math>都是相異的，而''<math>X</math>''包含一个可数集合。定義把每个''<math>c_n</math>''映射到<math>c_{n+1}</math>的函数<math>f</math>（并固定所有<math>X</math>的其他元素），''f''是从''<math>X</math>''到''<math>X</math>''的一一映射，它不是满射，这证明了''<math>X</math>''是戴德金无限的。

==参见==
{{planetmath|urlid=axiomofcountablechoice|title=axiom of countable choice}}

[[Category:选择公理]]
{{集合论}}