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[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|一个可微函数的图像]]

'''可微分函数'''（{{lang-en|differentiable function}}）在[[微积分学]]中是指那些在[[定义域]]中所有点都存在[[导数]]的函数。可微函数的[[函数图象|图像]]在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、[[尖点]]或任何有垂直切线的点。

一般来说，若''X''<sub>0</sub>是函数''f''定义域上的一点，且''f''′(''X''<sub>0</sub>)有定义，则称''f''在''X''<sub>0</sub>点可微。这就是说''f''的图像在(''X''<sub>0</sub>,&nbsp;''f''(''X''<sub>0</sub>))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

==可微性与连续性==
[[Image:WeierstrassFunction.svg|thumb|right|[[魏尔斯特拉斯函数]]连续，但在任一点都不可微]]
若''f''在''X''<sub>0</sub>点可微，则''f''在该点必[[连续函数|连续]]。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、[[尖点]]或垂直切线的函数可能是连续的，但在[[奇異點 (數學)|异常点]]不可微。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或[[几乎处处]]可微。但[[斯特凡·巴拿赫]]声称可微函数在所有函数构成的集合中却是[[贫集|少数]]。<ref>{{cite journal|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia. Math.|issue=3|year=1931|pages=174–179}}.  Cited by {{cite book|author=Hewitt, E and Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|nopp=true}}</ref>这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是[[魏尔斯特拉斯函数]]。

==连续可微的分类==
{{main|光滑函數}}
函数''f''是连续可微（continuously differentiable），如果导数''f'(x)''存在且是连续函数。可微函數''f(x)''之導數''f'(x)''不可能有[[不連續點|跳躍不連續點]]，但可能有本性不連續點。例如考慮以下函數''f(x)''：

:<math>f(x) \;=\; \begin{cases} x^2\sin (1/x) & \text{if }x \ne 0 \\ 0 & \text{if }x=0\end{cases}</math>
此函數在''x''=0處可微，可照定義求出f'(0)：
:<math>f'(0)=\lim_{\epsilon\to0}\left(\frac{\epsilon^2\sin(1/\epsilon)-0}{\epsilon}\right)=0,</math>
但對''x''≠0，
:<math>f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)</math>
當''x''趨近於0時，''f'(x)''的極限並不存在。

连续可微函数被称作<math>C^1</math>函数。一个函数称作'<math>C^2</math>函数如果函数的一阶、二阶导数存在且连续。更一般的，一个函数称作<math>C^k</math>函数如果前''k''阶导数''f''′(''x''), ''f''″(''x''), ..., ''f''<sup>(''k'')</sup>(''x'') 都存在且连续。如果对于所有正整数n，f<sup>(n)</sup>存在，这个函数被称为[[光滑函数]]或称<math>C^\infty</math>函数。

==多元函数的可微性==
{{See also|多元微积分}}
如果一个函数的所有偏导数在某点的[[邻域]]内存在且连续，那么该函数在该点可微，而且是class ''C''<sup>1</sup>。(这是可微的一个充分不必要条件)

形式上，一个[[多元实值函数]] {{math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}}在点{{math|'''x<sub>0</sub>'''}}处可微，如果存在[[线性映射]]{{math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}}满足
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0.</math>

注意，偏导数（甚至所有[[方向導數]]）都存在并不能保证函数在该点可微，考慮以下函數{{math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}}：

:<math>f(x,y) = \begin{cases}x & \text{if }y \ne x^2 \\ 0 & \text{if }y = x^2\end{cases}</math>
此函數在{{math|(0, 0)}}並不可微，但其所有偏導數及方向導數在該點皆存在。以下是一個連續的例子：

:<math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>
此函數在{{math|(0, 0)}}並不可微，但其所有偏導數及方向導數在該點皆存在。

==複變函數的可微性==
{{main|全純函數}}
在[[複分析]]中，任何在某點附近可微的複變函數被稱為[[全純函數]]，這類函數也將會是無限可微，甚至是[[解析函数]]。

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:微分学]]