查看“︁可对角化矩阵”︁的源代码

{{线性代数}}
'''可对角化矩阵'''是可化簡為[[对角矩阵]]的[[方块矩阵|方阵]]。矩阵對角化后大幅降低了某些属性的計算難度，比如其[[行列式]]就是对角線上所有數字的乘積，而对角線上的數字就是其[[特征值]]。

可對角化也使该线性变换的几何意义更直觀，因為每個[[线性变换]]都可以對應到一個矩陣，所以将矩阵对角化等價於找到一组[[基底]]，使的线性变换的作用僅僅是伸缩基底向量而已。類似的，若用对角矩阵表示差分方程组或者微分方程组的係數的話，這樣每條等式只含有一個未知函数，這樣也大幅度了化簡了方程式的難度。

[[若尔当-谢瓦莱分解]]表达一个算子为它的对角部分与它的[[幂零]]部分的和。

== 正式定義 ==
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = ''<math> A \in K^{n\times n} </math>'' 是一個定義在标量[[域 (数学)|域]] <math>K</math> 上的 ''<math> n </math>'' 階[[方块矩阵|方阵]]，若存在一个 ''<math> n </math>'' 階的[[可逆矩阵|可逆方阵]] ''<math> P \in K^{n\times n} </math>'' 使得
:<math> P^{-1}A P </math>
是[[对角矩阵]]，则 <math> A </math> 就被称为'''可对角化'''的。
}}

=== 可對角化的線性映射 ===
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = ''<math> V </math>'' 與 ''<math> W </math>'' 是定義在同個标量[[域 (数学)|域]] <math>K</math> 上，且[[基 (線性代數)#維度|維度]]相等的[[向量空间]]，若存在 ''<math> V </math>'' 的某[[基底]] [[线性映射#矩陣|<math>\mathfrak{B}_V </math>]] 和 ''<math> W </math>'' 的某[[基底]] [[线性映射#矩陣|<math>\mathfrak{B}_W </math>]] ，使[[线性映射]] ''<math> T:V\to W </math>'' [[线性映射#以矩陣表示線性映射|對應的矩阵]] [[线性映射#矩陣|<math>\mathbf{T}={[T]}^{\mathfrak{B}_V}_{\mathfrak{B}_W} </math>]] 是對角的，那线性映射 ''<math> T </math>'' 也會被稱為'''可对角化'''的。
}}
=== 特征化 ===
关于可对角化映射和矩阵的基本事实可表达为如下:

* 在[[域 (数学)|域]] ''F'' 上的 ''n'' &times; ''n'' 矩阵 ''A'' 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的和的维度等于 ''n''，它为真当且仅当存在由 ''A'' 的特征向量组成的 ''F''<sup>''n''</sup> 的[[基 (线性代数)|基]]。如果找到了这样的基，可以形成有[[基向量]]作为纵列的矩阵 ''P''，而 ''P''<sup>&nbsp;-1</sup>''AP'' 将是对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 ''A'' 的特征值。
* 线性映射 ''T'' : ''V'' &rarr; ''V'' 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的维度等于 dim(''V'')，它为真当且仅当存在由 ''T'' 的特征向量组成的 ''V'' 的基。''T'' 关于这个基将表示为对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 ''T'' 的特征值。

另一个特征化: 矩阵或线性映射在域 ''F'' 上可对角化的，当且仅当它的[[极小多项式]]在 ''F'' 上有不同的线性因子。

下列充分(但非必要)条件经常是有用的。

* ''n'' &times; ''n'' 矩阵 ''A'' 只在域 ''F'' 上可对角化的，如果它在 ''F'' 中有 ''n'' 个不同的特征值，就是说，如果它的[[特征多项式]]在 ''F'' 中有 ''n'' 个不同的根。
* 线性映射 ''T'' : ''V'' &rarr; ''V'' 带有 ''n''=dim(''V'') 是可对角化的，如果它有 ''n'' 个不同的特征值，就是说它的特征多项式在 ''F'' 中有 ''n'' 个不同的根。

作为经验规则，在复数域 '''C''' 上几乎所有矩阵都是可对角化的。更精确地说: 在 '''C''' 上不可对角化的复数 ''n'' &times; ''n'' 矩阵的集合被当作 '''C'''<sup>''n''&times;''n''</sup> 的子集，它是关于[[勒贝格测度]]的[[零集]]。也可以说可对角化矩阵形成了关于 [[扎里斯基拓扑]]的稠密子集 : 补位于特征多项式的[[判别式]]变为零的集合内，後者是[[超平面]]。从中得出的还有在平常的(强拓扑)中密度由[[范数]]给出。 

对于 '''R''' 域就不是这样了。随着 ''n'' 增长，随机选择的实数矩阵是在 '''R''' 上可对角化的可能性越来越小。

== 例子 ==

=== 可对角化矩阵 ===

* [[对合]]在实数上(甚至特征不是 2 的任何域)是可对角化的，带有 1 和 -1 在对角线上。
* 有限阶自同态(包括对合)是在复数，或域的特征不整除自同态的阶的任何代数闭合域(因为单位一的根是不同的)是可对角化的，带有[[单位根]]在对角线上。这是循环群的[[表示 (群)|表示理论]]的一部分。
* [[投影]]是可对角化的，带有 0 和 1 在对角线上。

=== 非可对角化的矩阵 ===

某些矩阵在任何域上都是不可对角化的，最著名的是[[幂零]]矩阵。如果特征值的[[特征向量#定义|几何重次]]和[[特征向量#代数重次|代数重次]]不一致，这会更一般的出现。例如考虑
:<math> C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} </math>
这个矩阵是不可对角化的: 没有矩阵 ''U'' 使得 <math>U^{-1}CU</math> 是对角矩阵。实际上，''C'' 有一个特征值(就是零)而这个特征值有代数重次 2 和几何重次 1。

某些实数矩阵在实数上是不可对角化的。例如考虑
:<math> B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} </math>
矩阵 ''B'' 没有任何实数特征值，所以没有实数矩阵 ''Q'' 使得 <math>Q^{-1}BQ</math> 是对角矩阵。但是如果允許複數的話 ，<math>B</math>仍可以对角化。实际上，如果我们取
:<math> Q = \begin{bmatrix} 1 & \textrm{i} \\ \textrm{i} & 1 \end{bmatrix} </math>
则 <math>Q^{-1}BQ</math> 是对角的。

=== 矩阵对角化的方法 ===

考虑矩阵
:<math>A=\begin{bmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix} </math>

这个矩阵有[[特征值]]
: <math> \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1 </math>
所以 ''A'' 是有三个不同特征值的 3 &times; 3 矩阵，所以它是可对角化的。

如果我们要对角化 ''A''，我们需要计算对应的[[特征向量]]。它们是
: <math> v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} </math>
我们可以轻易的验证 <math>A v_k = \lambda_k v_k</math>。

现在，设 ''P'' 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:
:<math>P=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} </math>
则 ''P'' 对角化了 ''A''，简单的计算可验证:
:<math>P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0  & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix} </math>
注意特征值 <math>\lambda_k</math> 出现在对角矩阵中。

== 应用 ==

对角化可被用来有效的计算矩阵 ''A'' 的幂，假如矩阵是可对角化的。比如我们找到了

:<math>P^{-1}AP = D \ </math>

是对角矩阵，因为矩阵的积是结合的，

:<math>\begin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) \\ 
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} \end{align} </math>

而后者容易计算，因为它只涉及对角矩阵的幂。

在找到[[线性递归序列]]比如[[斐波那契数列]]的项的闭合形式的表达中这是非常有用的。
===特定应用===

例如，考虑下列矩阵:
:<math>M =\begin{bmatrix}a & b-a \\ 0 &b \end{bmatrix} </math>
计算 ''M'' 个各次幂揭示了一个惊人的模式:
:<math>
M^2 = \begin{bmatrix}a^2 & b^2-a^2 \\ 0 &b^2 \end{bmatrix},\quad
M^3 = \begin{bmatrix}a^3 & b^3-a^3 \\ 0 &b^3 \end{bmatrix},\quad
M^4 = \begin{bmatrix}a^4 & b^4-a^4 \\ 0 &b^4 \end{bmatrix},\quad \ldots
</math>

上面的现象可以通过对角化 ''M'' 来解释。要如此我们需要由 ''M'' 的特征向量组成的  '''R'''<sup>2</sup> 的基。一个这样的特征向量基给出自
:<math>\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\mathbf{e}_1,\quad 
\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2 </math>
这里的 '''e'''<sub>i</sub> 指示 '''R'''<sup>n</sup> 的标准基。
逆的[[基变更]]给出自
:<math> \mathbf{e}_1 = \mathbf{u},\qquad \mathbf{e}_2 = \mathbf{v}-\mathbf{u} </math>

直接计算证实
:<math>M\mathbf{u} = a\mathbf{u},\qquad M\mathbf{v}=b\mathbf{v} </math>
所以，''a'' 和 ''b'' 是分别是对应于 '''u''' 和 '''v''' 的特征值。
根据矩阵乘法的线性，我们有
:<math> M^n \mathbf{u} = a^n\, \mathbf{u},\qquad M^n \mathbf{v}=b^n\,\mathbf{v} </math>
切换回标准基，我们有
:<math> M^n \mathbf{e}_1 = M^n \mathbf{u} = a^n \mathbf{e}_1 </math>
:<math> M^n \mathbf{e}_2 = M^n (\mathbf{v}-\mathbf{u}) = b^n \mathbf{v} - a^n\mathbf{u} = (b^n-a^n) \mathbf{e}_1+b^n\mathbf{e}_2 </math>
前面的关系用矩阵形式表达为
:<math>
M^n = \begin{bmatrix}a^n & b^n-a^n \\ 0 &b^n \end{bmatrix} 
</math>
因此解释了上述现象。

== 参见 ==
* [[若尔当标准型]]
* [[缩放]]
* [[三角矩阵]]

== 外部链接 ==
* {{planetmath reference|id=1960|title=Diagonalization|urlname=diagonalization}}

== 引用 ==
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson, ''Matrix Analysis'', Chapter 1, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

[[Category:矩阵|K]]