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{{Veil|time=2015-09-12T07:12:51+00:00}}
'''可均群'''是[[數學]]上一個特別的[[局部緊空間|局部緊]][[拓撲群]]''G''，具備了一種為在''G''上的有界函數取平均的操作，而且''G''在函數上的[[群作用]]，不會改變所取得的平均。

==緣起==
[[File:Banach-Tarski Paradox.svg|thumb|right|巴拿赫－塔斯基悖論]]
在<math>\mathbb R^n</math>上的[[勒貝格]][[測度]]，存在不可測的[[有界集|有界子集]]。[[豪斯多夫]]研究能否在<math>\mathbb R^n</math>上定義新的[[測度]]，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的[[等距同構|等距變換]]不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的[[σ可加性]]（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、[[斯特凡·巴拿赫|巴拿赫]]和[[阿爾弗雷德·塔斯基|塔斯基]]後來的研究，發現了維度不小於3的<math>\mathbb R^n</math>中，任意兩個有[[內點]]的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的[[巴拿赫－塔斯基定理|巴拿赫－塔斯基悖論]]。因此3維以上<math>\mathbb R^n</math>不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

[[馮紐曼]]研究他們的證明，發現問題關鍵不是在<math>\mathbb R^n</math>的結構，而是在<math>\mathbb R^n</math>的旋轉群上。3維以上的<math>\mathbb R^n</math>，其[[旋轉群]]有[[子群]]是秩2的[[自由群]]；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群''G''上，是否存在有限可加的[[概率測度]]<math>\mu</math>，是''G''-不變的，即是在''G''對其中的子集的[[群作用]]下不變：對任何<math>E\subset G</math>和任何<math>g \in G</math>，<math>\mu(gE) = \mu(E)</math>。這樣的[[概率測度]]稱為不變平均。（函數以這測度[[積分]]，像是取[[加權平均]]。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的[[連續]][[線性泛函]]。{{sfn|Pier|loc=Ch. 1 &sect;1}}{{sfn|Paterson|loc=Ch. 0}}

==外文名稱==
可均群的[[德文]]名稱Mittelbare Gruppe，[[法文]]名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的[[平均]]一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉[[諧音]]玩的文字遊戲，因為amenable的[[英式英文|英式讀音]]，與"a mean able"相同（用[[美式英文|美式讀音]]就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

==定義==
設''G''為[[局部緊群]]。''G''上存在左[[哈爾測度]]<math>\mu</math>。考慮在[[測度空間]]<math>(G,\mu)</math>上的複值[[本質上確界和本質下確界|本質有界]][[函數空間]]<math>L^\infty(G)</math>。

線性泛函<math>\Lambda:L^\infty(G)\to \mathbb C</math>稱為'''平均'''，如果<math>\Lambda</math>的[[範數]]是1，並且是非負的：若實值函數<math>f\in L^\infty(G)</math>適合<math>f\geq 0</math>，則<math>\Lambda(f) \geq 0</math>。

如果<math>\Lambda</math>是一個平均，則有<math>\Lambda(1_G)=1</math>，其中<math>1_G</math>是''G''的[[特徵函數]]。而且對任何實值函數<math>f\in L^\infty(G)</math>，
::<math>\operatorname*{ess\ inf}_{x\in G} f(x) \leq \Lambda (f) \leq \operatorname*{ess\ sup}_{x\in G} f</math>
其中ess sup和ess inf分別是函數的[[本質上確界和本質下確界]]。

一個平均是'''左不變'''的，如果對任何<math>s\in G</math>，<math>f\in L^\infty(G)</math>，在左作用<math>s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)</math>下，都有<math>\Lambda(s\cdot f)=\Lambda(f)</math>。

局部緊群''G''如果有一個左不變平均，就稱為'''可均群'''。

可均群有很多等價定義。{{sfn|Pier|loc=Ch. 2}}其中一個是Følner條件：{{sfn|Paterson|loc=4.10}}

對任何<math>\epsilon >0</math>，任何緊子集<math>C\subset G</math>，都存在一個緊子集<math>K\subset G</math>，<math>0<\mu(K)<\infty</math>，使得對所有<math>x\in C</math>都符合不等式
::<math>\mu(xK \triangle K) / \mu(K) <\epsilon</math>
此處<math>\triangle</math>是[[對稱差]]。

如果''G''是[[可數無限]]的[[離散群]]，Følner條件等價於：
''G''中存在有限子集<math>S_n</math>，使得對任何<math>g\in G</math>，
::<math>\lim_{n\to \infty}\frac{\left|g S_n \triangle S_n\right|}{\left|S_n\right|} = 0</math>
這樣的<math>(S_n)</math>稱為Følner序列。

==性質==
可均群的[[閉集|閉]]子群都是可均的。

若''H''是可均群''G''的閉[[正規子群]]，那麼<math>G/H</math>是可均群。

若''H''是局部緊群''G''的閉[[正規子群]]，而且''H''和<math>G/H</math>都是可均群，那麼''G''也是可均群。

設''G''是局部緊群，''I''是[[有向集合]]，<math>(H_i)_{i\in I}</math>是''G''的閉可均子群組成的[[網 (數學)|網]]，對任何<math>i\leq j</math>，有<math>H_i \subset H_j</math>。那麼<math>H=\overline{\cup_{i\in I}H_i}</math>是''G''的可均子群。

==例子==
[[有限群]]是可均群。更一般地，[[緊群]]是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。{{sfn|Pier|loc=Prop. 12.1}}

整數群<math>(\mathbb Z,+)</math>和實數群<math>(\mathbb R,+)</math>是可均群，一個在<math>\mathbb Z</math>或<math>\mathbb R</math>中長度趨向無窮的有界[[區間]]序列是一個Følner序列。

局部緊的[[阿貝爾群]]是可均群。因此，局部緊的[[可解群]]是可均群：若''G''是局部緊的可解群，則有[[導群|導出列]]
::<math>G=G^{(0)} \triangleright G^{(1)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}</math>
其中<math>G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]</math>。每個<math>G^{(i)}/G^{(i+1)}</math>都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出''G''是可均群。

一個[[有限生成群]]''G''是[[增長率 (群論)|次指數增長]]的，如果''G''中存在一個有限[[生成集合]]''S''，有對稱性<math>S=S^{-1}</math>，使得{{sfn|Paterson|loc=6.41}}
::<math>\liminf_{n\to \infty}\frac{\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}=1</math>
次指數增長的有限生成群是可均群。
{{HideH|證明}}
從定義知對每個<math>i\in\mathbb N</math>，都存在<math>n_i</math>使得
::<math>\frac{\left|S^{n_i+1}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<1+\frac 1 i</math>
對每個<math>a\in S</math>，有<math>S^{n_i},a S^{n_i}\subset S^{n_i+1}</math>。對任何<math>g\in G</math>都有<math>\left|g S^{n_i}\right|=\left|S^{n_i}\right|</math>。於是
::<math>\begin{align}
& \left|a S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\
\leq & \left|a S^{n_i}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i}\setminus a S^{n_i}\right| \\
\leq & \left|S^{n_i+1}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i+1}\setminus a S^{n_i}\right| \\
= & (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) + (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|a S^{n_i}\right|) \\
= & 2(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|)
\end{align}</math>
每個<math>g\in G</math>都可寫成<math>g=a_1 a_2 \cdots a_m</math>。設<math>g_0=e</math>, <math>g_j=g_{j-1}a_j</math>。用集合關係式<math>A\triangle B \subset (A\triangle C) \cup (C\triangle B)</math>，得出
::<math>\begin{align}
& \left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right|  \\
\leq & \left|\bigcup_{j=1}^m \left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right|  \\
\leq & \sum_{j=1}^m \left|\left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right|  \\
= & \sum_{j=1}^m \left|g_{j-1}\left( S^{n_i}\triangle a_j S^{n_i}\right)\right|  \\
\leq & 2m(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|)
\end{align}</math>
因此
::<math>\frac{\left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}<\frac {2m} {i}</math>
所以<math>(S^{n_i})</math>是一個Følner序列，故''G''是可均群。
{{HideF}}

設<math>G_1</math>和<math>G_2</math>是[[有限生成群]]，而<math>G_2</math>是可均的。若<math>G_1</math>[[擬等距同構]]於<math>G_2</math>，那麼<math>G_1</math>也是可均群。{{sfn|Ghys, de la Harp (éd.)|loc=Ch. 1 Exercice 24}}

秩2的自由群<math>F_2</math>不是可均群。{{HideH|證明}}
設''a'',''b''是<math>F_2</math>的[[群的生成集合|生成元]]。<math>F_2</math>的元素都可以用''a'',''b''寫成[[字 (群論)|字]]。假設<math>F_2</math>有不變平均''M''。考慮<math>F_2</math>的一個子集''A''，''A''包含所有簡約字以<math>a^n</math>開首的元素。（''n''是某個不等於0的整數。）那麼''A'', ''bA'', <math>b^2 A</math>是<math>F_2</math>的不相交子集，所以
::<math>\begin{align}
3M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{bA}) + M(1_{b^2 A}) \\
& \leq M(1_{F_2}) =1
\end{align}</math>
另一方面，<math>A\cup aA=F_2</math>，所以
::<math>\begin{align}
2M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{aA}) \\
&\geq M(1_{F_2})
\end{align}</math>
這兩條不等式互相矛盾，故<math>F_2</math>上不存在不變平均，即<math>F_2</math>是非可均的。
{{HideF}}
所以一個群若包含<math>F_2</math>為[[離散空間|離散]]子群，則不是可均群。

如把''n''維空間<math>\mathbb R^n</math>的[[旋轉群]]SO(''n'')看成[[離散群]]，則''n''不小於3時SO(''n'')包含<math>F_2</math>為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在''n''不小於3時可行，在''n''等於2時不可行的原因。不過若用SO(''n'')原來的[[拓撲空間|拓撲]]，則對所有''n''，SO(''n'')都是緊群，所以都是可均群。

一個[[殆連通群|殆連通]]的局部緊群''G''是可均群，當且僅當''G''不包含<math>F_2</math>為離散子群。{{sfn|Paterson|loc=3.8}}（設<math>G_e</math>是''G''的[[單位連通區]]。若<math>G/G_e</math>[[緊緻]]，則''G''稱為'''殆連通群'''。）

[[馮紐曼猜想]]推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了[[塔斯基魔群]]是非可均的。''G''是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的[[素數]]''p''，''G''中所有真子群除了平凡子群外，都是''p''階[[循環群]]。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。

==腳註==
{{reflist}}

==參考==
*{{cite book |last=Pier |first=Jean-Paul |title=''Amenable locally compact groups'' |url=https://archive.org/details/amenablelocallyc0000pier |year=1984 |publisher=Wiley|ref=
{{harvid|Pier}}}}
*{{cite book |last=Paterson |first=Alan |title=''Amenability'' |url=https://archive.org/details/amenability0000pate |year=1988 |publisher=American Mathematical Society|ref=
{{harvid|Paterson}}}}
*{{cite book |editor=É. Ghys, P. de la Harpe (éd.)|title=''Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.'' |series=Progress in Mathematics, 83 |year=1990 |publisher=Birkhäuser |ref=
{{harvid|Ghys, de la Harp (éd.)}}}}
[[Category:拓撲群]]
[[Category:幾何群論]]