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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[复分析]]中，一个[[全纯函数]]的'''可去奇点'''（{{lang|en|removable singularity}}），有时称为'''装饰性奇点'''（{{lang|en|cosmetic singularity}}）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通过细致地分析，函数的定义域可以扩大到该[[奇点 (数学)|奇点]]，使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数：

:<math> f(z) = \frac{\sin z}{z} </math>

对 <math>z\neq 0</math> 有一个奇点 <math>z=0</math>。藉由定义 <math>f(0)=1</math>，可將此奇点消去，並得到全純的 [[sinc函數]]。

确切地，如果 <math>U</math> 是[[复平面]] <math>\mathbb{C}</math> 的一个[[开集]]，<math>a</math> 是 <math>U</math> 中一点，<math>f:U \backslash \{a\}\to\mathbb{C}</math> 是一个[[全纯函数]]，如果存在一个在 <math>U\backslash\{a\}</math> 与 <math>f</math> 相等的全纯函数 <math>g:U\to\mathbb{C}</math>，则 <math>a</math> 称为 <math>f</math> 的一个'''可去奇点'''。如果这样的 <math>g</math> 存在，我们说 <math>f</math> 在 <math>a</math> 是可全纯延拓的。

== 黎曼定理 ==
[[波恩哈德·黎曼|黎曼]]关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的：

'''定理'''： 设 <math>D\subset\mathbb{C}</math> 是复平面中的一个开集，<math>a\in D</math> 是其内的一个点，并且 <math>f</math> 是定义在集合 <math>D\backslash\{a\}</math> 上的一个全纯函数。则下列情形是等价的：

:i)  <math>f</math> 可全纯延拓到 <math>a</math>。

:ii)  <math>f</math> 可连续延拓到 <math>a</math>。

:iii) 存在 <math>a</math> 的一个[[邻域]]，在它上面 <math>f</math> [[有界函数|有界]]。

:iv)  <math>\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=0</math>。

蕴含关系 i) &rArr; ii)  &rArr; iii)  &rArr; iv) 是平凡的。为了证明 iv) &rArr; i)，我们首先回忆到[[证明全纯函数解析|一个函数在一点的全纯性等价于解析]]，即有一个幂级数表示。

定义：<math>
h(z) =
\begin{cases}
(z - a)^2 f(z) &  z \ne a ,\\
0              &  z = a .\\
\end{cases}
</math>

显然， <math>h</math> 在 <math>D\backslash\{a\}</math> 上是全纯的，并且由 iv)有
:<math>\begin{aligned}h'(a):&=\lim_{z\to a}\frac{h(z)-h(a)}{z-a}=\lim_{z\to a}\frac{(z-a)^2f(z)-0}{z-a}\\
&=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=0. \end{aligned}</math>

因此 <math>h</math> 在整个 <math>D</math> 上都全纯，从而有在 <math>a</math> 的泰勒级数：

:<math>h(z) = a_2 (z - a)^2 + a_3 (z - a)^3 + \cdots .</math>

所以

:<math>g(z) = \frac{h(z)}{(z-a)^2}</math>

是 <math>f</math> 在 <math>a</math> 的全纯延拓，这就证明了先前的断言。

== 其它类型奇点 ==
不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

# 受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数 <math>m</math> 使得 <math>\lim_{z\to a}(z-a)^{m+1}f(z)=0</math> 。如果存在，<math>a</math> 称为 <math>f</math> 的一个[[极点]]，这样最小的 <math>m</math> 称为 <math>a</math> 的'''阶数'''。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到[[无穷远点]]。

# 如果 <math>f</math> 的一个孤立奇点 <math>a</math> 既非可去奇点也非极点，则称'''[[本性奇点]]'''。[[皮卡定理]]指出 <math>f</math> 将任意穿孔开邻域 <math>U\backslash\{a\}</math> 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。

==参见==
* [[解析容度]]
* [[不连续点|可去不连续点]]

[[Category:复分析|K]]

[[ja:リーマンの定理 (除去可能な特異点)]]