查看“︁可加範疇”︁的源代码

在[[範疇論]]中，一個'''可加範疇'''是一個存在有限[[雙積]]的[[預加法範疇]]。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指[[預可加範疇]]，在當代理論中則傾向於區別兩者。

一如[[預可加範疇]]，對一[[交換環]]<math>k</math>也能定義'''<math>k</math>-可加範疇'''，可加範疇是<math>k=\Z</math>的情形。

==例子==
最直接的例子是[[交換群]]範疇'''Ab'''，此時的有限[[雙積]]即群的有限[[直積]]。其它常見例子包括：

* 一個[[环 (代数)|環]]上的左[[模]]範疇，包括[[体 (数学)|域]]或[[除環]]上的[[向量空間]]範疇。
* 環上的[[矩陣]][[交換環上的代數|代數]]。

==基本性質==
加法範疇是[[預可加範疇]]的特例，因此具有預可加範疇的性質，在此僅考慮可加範疇對雙積的特性：

首先注意到空雙積存在，稱為[[零對象]]，記作<math>0</math>；它同時是範疇中的[[始對象]]與[[終對象]]。

給定加法範疇中的對象<math>A, B</math>，考慮與自身的雙積<math>A^n</math>與<math>B^m</math>；透過雙積的射影與內射態射，能夠以[[矩陣]]表示從<math>A^n</math>至<math>B^m</math>的態射；若取<math>A=B</math>、<math>n=m</math>，則態射的合成對應於方陣乘法。

==可加函子==
一個[[預加法範疇]]間的函子<math>F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math>若在同態集上給出群同態，則稱作'''可加函子'''。如果<math>\mathcal{C}, \mathcal{D}</math>還是可加範疇，而且<math>F</math>保存[[雙積]]的交換圖，則稱之為（可加範疇間的）'''可加函子'''。換言之：

若<math>B</math>是<math>A_1, \ldots, A_n</math>在<math>\mathcal{C}</math>中的雙積，設<math>p_j</math>為相應的投影而<math>i_j</math>為相應的內射，則<math>F(B)</math>是<math>F(A_1), \ldots, F(A_n)</math>的雙積，使得<math>F(p_j)</math>為相應的投影而<math>F(i_j)</math>為相應的內射。

可加範疇間常見的函子都是可加函子。事實上，可以證明加法範疇間的[[伴隨函子]]都是可加函子，而範疇論中的重要函子多以伴隨函子的面貌出現。

==特殊例子==
* 一個[[預阿貝爾範疇]]是使每個態射都有核與上核的可加範疇。
* 一個[[阿貝爾範疇]]是一個使態射均為[[嚴格態射]]的預阿貝爾範疇。

應用最廣的可加範疇通常都是阿貝爾範疇。

==文獻==
* Nicolae Popescu, 1973, ''Abelian Categories with Applications to Rings and Modules'', Academic Press, Inc.（已絕版）  該書對此主題有仔細介紹

[[Category:加法范畴]]