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{{NoteTA|G1=Math}}

'''可分扩张'''是[[抽象代数]]之[[域扩张]][[域论|理论]]中的概念。如果一个[[代数扩张]]{{mvar|L/K}}满足：任何一个{{mvar|L}}中元素在基[[体 (数学)|域]]{{mvar|K}}上的[[极小多项式]]都是[[可分多项式]]，那么这个扩张就称作'''可分扩张'''。由于[[特征 (代数)|特征]]为0的域（包括常见的[[有理数]]域<math>\mathbb{Q}</math>）以及[[有限域]]都是[[完美域]]，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是[[伽罗瓦扩张]]的条件之一，因此它在[[伽罗瓦理论]]中也扮演了重要的角色。

==简介==
域扩张理论和[[多项式]]有紧密的关系。给定一个基域{{mvar|K}}并固定其某个代数闭包{{math|''K''<sup>alg</sup>}}，所有{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}（即以{{mvar|K}}中元素为系数的多项式）都在{{math|''K''<sup>alg</sup>}}中有根，即存在{{mvar|r<sub>f</sub>}}，使得{{math|''f''(''r<sub>f</sub>'') {{=}} }}0。考虑集合<math>Z_f = \{ r\in K^{\mathrm{alg}}; \; f(r) = 0\}</math>。{{mvar|Z<sub>f</sub>}}包含了{{mvar|f}}所有的相异的根，它的元素个数不会超过多项式{{mvar|f}}的次数，但也不总等于多项式{{mvar|f}}的次数。例如有理数系数的三次多项式<math>X^3 - X</math>有三个不同的根：1、0和-1，相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式<math>X(X - 1)^2</math>就只有两个根：0和1。

尽管随着代数闭包{{math|''K''<sup>alg</sup>}}变化，多项式{{mvar|f}}的根的形式可以不一样，但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

==多项式的重根与可分多项式==
{{main|可分多项式}}
给定域扩张{{mvar|L/K}}以及{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}。如果某个{{mvar|L}}中元素{{mvar|α}}是{{mvar|f}}的根，那么{{mvar|f}}可以分解为两个{{mvar|L-}}多项式的乘积：
::<math>f = (X - \alpha) g</math>.
其中{{mvar|g}}是一个次数比{{mvar|f}}少1的多项式。如果{{mvar|α}}也是{{mvar|g}}的根，那么{{mvar|α}}就被称作是多项式{{mvar|f}}的重根。有重根的多项式，相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为'''不可分多项式'''。反之称为'''可分多项式'''。

在{{mvar|f}}的[[分裂域]]中，可以更清楚的看到重根。给定{{mvar|f}}的分裂域{{mvar|F/K}}後，由于{{mvar|f}}在{{mvar|F}}中可以完全分解为一次因式的乘积：
::<math>f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_k \in F</math>.
因此可以看出是否有两个根相同。

尽管{{mvar|f}}的根常常在扩域中，但“{{mvar|f}}是否有重根”的判断可以直接在{{mvar|K}}中进行。考虑{{mvar|f}}的[[形式导数]]多项式{{math|D( ''f'' )}}。如果{{mvar|f}}和{{math|D( ''f'' )}}[[互素]]，则{{mvar|f}}没有重根。否则，{{mvar|f}}和{{math|D( ''f'' )}}的公因子就是由{{mvar|f}}的重根组成的多项式。互素的具体判别方式为：
:如果存在{{mvar|K-}}多项式{{mvar|p}}和{{mvar|q}}，使得{{math|''pf'' + ''q''D( ''f'' ) {{=}} }}1，则{{mvar|f}}和{{math|D( ''f'' )}}互素。

== 定义 ==
一个[[代数扩张]]{{mvar|L/K}}是可分扩张，[[当且仅当]]对{{mvar|L}}中任一给定元素{{mvar|α}}，{{mvar|α}}在{{mvar|K}}上的[[极小多项式]]没有重根。

==可分元素与可分次数==
给定一个域扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|L}}中某个元素{{mvar|α}}在{{mvar|K}}上的[[极小多项式]]没有重根，就称它为{{mvar|K}}上的可分元素。显然所有{{mvar|K}}中元素都是{{mvar|K}}上的可分元素。所有可分元素构成一个域，记作{{mvar|L<sub>s</sub>}}是域扩张{{mvar|L/K}}的中间域。子扩张{{mvar|L<sub>s</sub>/K}}的次数{{math|[''L''<sub>''s''</sub> : ''K'']}}称为{{mvar|L/K}}的'''可分次数'''，记作{{math|[''L'' : ''K'']<sub>''s''</sub>}}。如果{{math|''L''<sub>''s''</sub> {{=}} ''L''}}，则{{mvar|L/K}}是可分扩张。
 
当{{mvar|L/K}}是[[有限扩张]]时，可以定义'''不可分次数'''{{math|[''L'' : ''K'']<sub>''i''</sub> :{{=}} {{sfrac|[''L'' : ''K'']|[''L'' : ''K'']<sub>''s''</sub>}}}}。{{mvar|L/K}}是可分扩张等价于说不可分次数等于1。

== 性质 ==
* 如果{{mvar|L/F}}、{{mvar|F/K}}都是代数扩张，那{{mvar|L/K}}是可分扩张当且仅当{{mvar|L/F}}和{{mvar|F/K}}都是可分扩张。
* 假设{{mvar|L/K}}是可分扩张，{{mvar|M/K}}是任意扩张，并且{{mvar|LM}}存在，那么{{mvar|LM/K}}也是可分扩张。
* 由以上两个性质可以推出，对于任何域{{mvar|K}}，在它的[[代数闭包]]{{math|''K''<sup>alg</sup>}}里，所有在{{mvar|K}}上可分的元素可以构成一个域。称这个域为{{mvar|K}}的'''可分闭包'''，记作{{math|''K''<sup>sep</sup>}}。
* 如果{{mvar|L/K}}是[[有限扩张|有限]]可分扩张，那{{mvar|L/K}}之间只存在有限多个中间域，由[[本原元定理]]得出，{{mvar|L/K}}存在本原元，即存在<math>\alpha\in L</math>使得<math>L=K(\alpha)</math>。

== 参见 ==
* [[完美域]]
* [[本原元定理]]

== 参考文献 ==

*{{cite book | author=Serge Lang| title=Algebra | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | id=ISBN 978-0-387-95385-4}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域论|G]]
[[Category:伽罗瓦理论|G]]

[[de:Körpererweiterung#Separable Erweiterungen]]