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[[数学]]中，'''可分多项式'''在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。

最常见的一个定义是：当在一个给定[[域 (數學)|域]]K上的[[多项式]]P(X)在K的[[代数闭包]]中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数<ref>S. Lang, Algebra, p. 178</ref>。在多项式[[因式分解]]的观点下，这样的多项式是[[无平方多项式]]。

第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的<ref>N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233</ref>。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个[[完美域]]上的多项式是可分的，这包含了0[[特征域]]和所有[[有限域]]。

两个定义对于K上[[不可约多项式]]是等价的，这个被用来定义域K的[[可分扩张]]。

在条目的余下部分我们只用第一个定义。

一个多项式可分当且仅当它与它的[[形式导数]]P'(X)[[互素]]。

== 域的可分扩张 ==
可分多项式被用于定义可分扩张：一个域扩张<math>K \subset L</math>是一个可分扩张当且仅当对任意的代数元<math>\alpha\in L</math>，<math>\alpha</math>在K上的[[极小多项式]]是可分多项式。

[[可分扩张|不可分扩张]]只可能在[[特征 (代数)|特征]]为p的域上出现。

由定义可以立马得到如果P是不可约的并且不可分，那么P'(X)=0.因此必须有：

''P''(''X'') = ''Q''(X<sup>''p''</sup>) 

对某个K上多项式Q成立，当中p是K的特征。

对此，我们能够构造一个例子：

''P''(''X'') = ''X''<sup>''p''</sup> &minus; ''T''

当中K是在有限域F<sub>p</sub>上的不定元T的[[有理函数]]组成的域。
这里可以直接证明P(X)是不可约的，并且不可分。事实上这是为什么不可分性需要被强调的一个例子；用几何的语言来说，P代表了有限域上的一个射影直线，将坐标取p次幂。这样的[[映射]]对有限域上的[[代数几何]]是基础的。换言之，存在一些不能用伽罗华理论来描述的覆盖。（见[[根态射]]（radical morphism）条目寻找更高层次的阐述）

若L是域扩张

:''K''(''T''<sup>1/''p''</sup>), 

换言之是P的[[分裂域]]，则L/K是一个[[纯不可分域]]扩张的例子。它的次数是p，但是除了恒等映射没有保K不变的[[态射]]，因为''T''<sup>1/''p''</sup>是P的唯一一个根。这直接证明了伽罗华理论在这里不适用。一个没有此类扩张的域称为完美域。

可以证明L和它自己在K上的[[张量积]]有非零的[[幂零元]]。这又一次证明了不可分性：这是说域上的张量积操作不需要形成一个域的积环（因此没有交换的[[半單模#半單環|半单环]]）。

若P(X)是可分的，且它的根形成了一个[[群]]（域K的子群），则P(X)称为一个[[加性多项式]]。

== 伽罗华理论中的应用 ==
可分多项式常在[[伽罗瓦理论|伽罗华理论]]中出现。

比如，令P是一个整系数不可约多项式而p是一个不整除P首项系数的素数。Q是有限域F<sub>p</sub>上的上由[[同餘|P模p]]约化而来的多项式。则若Q可分则Q不可约因子的次数是P的[[伽罗瓦群|伽罗华群]]的某个[[置换]]的长度。

另一个例子：P同上，一个群G的预解式R是一个系数为p为系数的多项式的多项式，R提供了关于P的伽罗华群的信息。更准确的说，若R是可分的并且有有理根则P的伽罗华群包含于G。例如若D是P的[[判别式]]，则X<sup>2</sup>-D是[[交错群]]的预解式。当P是可约的这个预解式总是可分的，但是大多的预解式是不可分的。

== 參考資料 ==
{{reflist}}
* Pages 240-241 of {{Lang Algebra|edition=3}}

[[Category:域論]]
[[Category:多項式]]