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{{微積分學}}

'''古爾丁定理'''（{{lang-en|Guldinus theorem}}）{{notetag|又稱'''帕普斯幾何中心定理'''(Pappus centroid theorem)、'''古鲁金定理'''、'''巴普斯定理'''。}}，最初由古希臘的[[帕普斯]]發現，後來在16世紀{{le|保羅·古爾丁|Paul Guldin}}又重新發現了這個定理。

== 表面積 ==
* 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積<math>A</math>，等於曲線的長度<math>s</math>乘以曲線的幾何中心經過的距離<math>d_1</math>：<math>A=s d_1</math>。

# 例：設[[環面]]圓管半徑為<math>r</math>，圓管中心到環面中心距離為<math>R</math>，把環面看成上面提到的曲線，其[[幾何中心]]是圓管中心。所以環面表面積為<math>(2\pi r) (2\pi R) = 4 \pi^2 r R</math>

若有平面連續曲線<math>y=f(x)</math>，求<math>x</math>在<math>[a,b]</math>時，曲線以<math>x</math>軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是<math>y</math>，[[曲線長度]]為<math>\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}</math>，因此這個曲面的表面積便是：
: <math>2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x </math>。

== 體積 ==

* 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積<math>V</math>，等於平面形狀面積<math>S</math>乘以平面形狀的幾何中心經過的距離<math>d_1</math>的積：<math>V=S d_1</math>。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積<math>V = \pi \int_a^b y^2  \; \mathrm{d}x </math>。

==注释==
{{notefoot}}
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