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'''古德斯坦定理'''是[[數理邏輯]]中的一個關於[[自然數]]的敘述，是在 1944 年由[[魯本·古德斯坦]]所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯<ref name="kirkbyparis">{{Cite journal| doi = 10.1112/blms/14.4.285| title = Accessible Independence Results for Peano Arithmetic| journal = Bulletin of the London Mathematical Society| volume = 14| issue = 4| pages = 285| year = 1982| url = http://www.cs.tau.ac.il/~nachumd/term/Kirbyparis.pdf| last1 = Kirby| first1 = L.| last2 = Paris| first2 = J.| authorlink2 = Jeff Paris (mathematician)| citeseerx = 10.1.1.107.3303| access-date = 2019-02-20| archive-date = 2021-01-16| archive-url = https://web.archive.org/web/20210116215411/http://www.cs.tau.ac.il/~nachumd/term/Kirbyparis.pdf| dead-url = no}}</ref> 證明它在[[皮亞諾公理|皮亞諾算術]]中是[[不可證明的]]（但它可以在一個更強的系統如[[二階邏輯|二階算術]]中被證明）。這是繼[[哥德爾不完備定理]]構造的命題（<math>\mathsf{Cons(PA)}</math>）和 1943 年[[格哈德·根岑]]直接證明皮亞諾算術中 ε<sub>0</sub>-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是[[柏麗斯–哈靈頓定理]]。

勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的'''[[勒拿九頭蛇|九頭蛇]]遊戲'''，其行為類似古德斯坦序列：「[[勒拿九頭蛇|九頭蛇]]」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管[[赫拉克勒斯]]使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的<ref name="kirkbyparis"/>。

== 以''n''為基底的瓜瓞式基底表示法 ==
古德斯坦序列是由一種「以''n''為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 ''n'' [[進位|進位制]]表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 ''n'' 進位表示法，''n'' 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 ''m'' 則被改寫為一些由 ''n'' 的冪次的乘積的相加之和：
:<math>m = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \cdots + a_0,</math>
其中，每個係數 ''a<sub>i</sub>'' 滿足{{nowrap|0 ≤ ''a<sub>i</sub>'' &lt; ''n''}}，且{{nowrap|''a<sub>k</sub>'' ≠ 0}}。如在 2 進位中，
:<math>35 = 32 + 2 + 1 = 2^5 + 2^1 + 2^0.</math>
所以， 35 的二進位是 100011（{{nowrap|2<sup>5</sup> + 2 + 1}}）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:
:<math>100 = 81 + 18 + 1 = 3^4 + 2 \cdot 3^2 + 3^0.</math>

然而需注意的是，這些指數仍非是基於 ''n'' 的表述法。如上述表示式中的 2<sup>5</sup> 和 3<sup>4</sup> 。

將一個 ''n'' 進位表示轉換為瓜瓞式''n''基底表示法，首先要將每個指數改為 ''n'' 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 ''n'' 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 ''n'' 為基底的瓜瓞式表示法為：
:<math>35 = 2^{2^2+1}+2+1, </math>
({{nowrap|1=5 = 2<sup>2</sup> + 1.}}) 。類似的，以''3''為基底的瓜瓞式表示法的 100 為
:<math>100 = 3^{3+1} + 2 \cdot 3^2 + 1.</math>

== 古德斯坦序列 ==
古德斯坦序列 ''G''(''m'') 是一個自然數的序列。第一項為 ''m'' 本身。第二項則是先將 ''m'' 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 {{nowrap|(''n'' + 1)}} 項的 {{nowrap|''G''(''m'')(''n'' + 1)}} 為：
* 將 ''G''(''m'')(''n'') 轉為以 {{nowrap|''n'' + 1}} 為基底的瓜瓞式表示法。
* 將所有的 {{nowrap|''n'' + 1}} 改為 {{nowrap|''n'' + 2}} 。
* 減 1。
* 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 ''G''(3) 結束於第 6 步：

{| class="wikitable" border="1"
|-
! 基底 !! 瓜瓞式表示法 !! 值 !! 註記
|-
|    2 || <math> 2^1 + 1 </math>           || 3 || 以 2 為基底改寫 3。
|-
|    3 || <math> 3^1 + 1 - 1 = 3^1 </math> || 3 || 將 2 改為 3，再減 1。
|-
|    4 || <math> 4^1 - 1 = 3 </math>       || 3 || 將 3 改為 4，再減 1。此時已無任何 4 了。
|-
|    5 || <math> 3 - 1 = 2 </math>         || 2 || 沒有 4 需要改為 5。單純減 1。
|-
|    6 || <math> 2 - 1 = 1 </math>         || 1 || 沒有 5 需要改為 6。單純減 1。
|-
|    7 || <math> 1 - 1 = 0 </math>         || 0 || 沒有 6 需要改為 7。單純減 1。
|}

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 ''G''(4) {{OEIS2C|id=A056193}} 開始如下：

{| class="wikitable" border="1"
|-
! 瓜瓞式表示法 !! 值
|-
| <math> 2^2 </math>                                                || 4
|-
| <math> 3^3 - 1 = 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 2 </math>              || 26
|-
| <math> 2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 </math>                        || 41
|-
| <math> 2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 </math>                            || 60
|-
| <math> 2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 - 1 = 2 \cdot 6^2 + 6 + 5 </math>  || 83
|-
| <math> 2 \cdot 7^2 + 7 + 4 </math>                                || 109
|- align=center
| <math> \vdots </math>                                             || <math> \vdots </math>
|-
| <math> 2 \cdot 11^2 + 11 </math>                                  || 253
|-
| <math> 2 \cdot 12^2 + 12 - 1 = 2 \cdot 12^2 + 11 </math>          || 299
|- align=center
| <math> \vdots </math>                                             || <math> \vdots </math>
|-
| <math> 2 \cdot 24^2 - 1 = 24^2 + 24 \cdot 23 + 23 </math>         || 1151
|}

''G''(4) 會一直遞增，直到基底為 <math>3 \cdot 2^{402\,653\,209}</math> 時，會達到最大值 <math>3 \cdot 2^{402\,653\,210} - 1</math> ，並在這裡停留 <math>3 \cdot 2^{402\,653\,209}</math> 步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 <math>3 \cdot 2^{402\,653\,211} - 1</math>。（有趣的是，這是個[[胡道爾數]]：<math>3 \cdot 2^{402\,653\,211} - 1 = 402\,653\,184 \cdot 2^{402\,653\,184} - 1</math>。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。{{Citation needed|date=October 2009}}）

不過，''G''(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。''G''(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

{| class="wikitable" border="1"
|-
! 瓜瓞式表示法 !! 值
|-
| <math> 2^{2^2} + 2 + 1 </math>   || 19
|-
| <math> 3^{3^3} + 3 </math>       || {{val|7625597484990}}
|-
| <math> 4^{4^4} + 3 </math>       || <math> \approx 1.3 \times 10^{154} </math>
|-
| <math> 5^{5^5} + 2 </math>       || <math> \approx 1.8 \times 10^{2184} </math>
|-
| <math> 6^{6^6} + 1 </math>       || <math> \approx 2.6 \times 10^{36\,305} </math>
|-
| <math> 7^{7^7} </math>           || <math> \approx 3.8 \times 10^{695\,974} </math>
|-
| 
<math> 8^{8^8} - 1 = 7 \cdot 8^{(7 \cdot 8^7 + 7 \cdot 8^6 + 7 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^4 + 7 \cdot 8^3 + 7 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 + 7)}</math> 
<math>+ 7 \cdot 8^{(7 \cdot 8^7 + 7 \cdot 8^6 + 7 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^4 + 7 \cdot 8^3 + 7 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 + 6)} + \cdots</math> 
<math>+ 7 \cdot 8^{(8+2)} + 7 \cdot 8^{(8+1)} + 7 \cdot 8^8 </math>
<math>+ 7 \cdot 8^7 + 7 \cdot 8^6 + 7 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^4 </math>
<math>+ 7 \cdot 8^3 + 7 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 + 7</math>
| <math> \approx 6 \times 10^{15\,151\,335} </math>
|-
| 
<math>7 \cdot 9^{(7 \cdot 9^7 + 7 \cdot 9^6 + 7 \cdot 9^5 + 7 \cdot 9^4 + 7 \cdot 9^3 + 7 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9 + 7)}</math> 
<math>+ 7 \cdot 9^{(7 \cdot 9^7 + 7 \cdot 9^6 + 7 \cdot 9^5 + 7 \cdot 9^4 + 7 \cdot 9^3 + 7 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9 + 6)} + \cdots</math> 
<math>+ 7 \cdot 9^{(9+2)} + 7 \cdot 9^{(9+1)}+ 7 \cdot 9^9 </math> 
<math>+ 7 \cdot 9^7 + 7 \cdot 9^6 + 7 \cdot 9^5 + 7 \cdot 9^4 </math>
<math>+ 7 \cdot 9^3 + 7 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9 + 6</math>
| <math> \approx 4.3 \times 10^{369\,693\,099} </math>
|- align=center
| <math> \vdots </math>   || <math> \vdots </math>
|}

儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，'''每個古德斯坦最終會終止於 0'''。

== 證明 ==

古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下：
對於每個給定的古德斯坦序列 ''G''(''m'') ，我們可以建造一個由[[序數]]所組成的平行序列 ''P''(''m'') ，而且是嚴格遞減和終止。所以''G''(''m'') 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 ''G''(''m'') 達到 0 是「因為」它被 ''P''(''m'') 所支配。事實是，''P''(''m'') 對支配 ''G''(''m'') 毫無作用。其重點在於： ''G''(''m'')(''k'') 存在當且僅當 ''P''(''m'')(''k'') 存在。於是，如果 ''P''(''m'') 終止，則 ''G''(''m'') 也如此。而 ''G''(''m'') 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 ''f''(''x'')，將 ''x'' 改為以{{nowrap|''k''}}為基底的表示法，並將每個 {{nowrap|''k''}} 換成第一個無窮[[序数]] ω。
而序列 ''P''(''m'') 中的每一項 ''P''(''m'')(''n'') 則定義為 ''f''(''G''(''m'')(''n''),''n+1'')。譬如，{{nowrap|1=''G''(3)(1) = 3 = 2<sup>1</sup> + 2<sup>0</sup>}} 和 {{nowrap|1=''P''(3)(1) = ''f''(2<sup>1</sup> + 2<sup>0</sup>,2) = ω<sup>1</sup> + ω<sup>0</sup> = ω + 1}} 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明 <math>f(G(m)(n),n+1) > f(G(m)(n+1),n+2)</math> 。在古德斯坦序列中，將 ''G''(''m'')(''n'') 改換基底後，將其記為 <math>G'(m)(n)</math> 。明顯的，<math>f(G(m)(n),n+1) = f(G'(m)(n),n+2)</math> ，現在我們套用 ''-1'' 運算後，因為 <math> G'(m)(n) = G(m)(n+1)+1</math>，所以 <math>f(G'(m)(n),n+2) > f(G(m)(n+1),n+2)</math>。

譬如， <math>G(4)(1)=2^2</math> 乃 <math>G(4,2)=2\cdot 3^2 + 2\cdot 3+2</math>，所以 <math>f(2^2,2)=\omega^\omega</math> 和 <math>f(2\cdot 3^2 + 2\cdot 3+2,3)=2 \omega^2+2\omega+2</math> 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 ''f(G(m)(n),n+1)'' ，我們要先將 ''G''(''m'')(''n'') 改為以 {{nowrap|''n''+1}} 為基底的表示法。所以如 <math>\omega^\omega-1</math> 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 <math>\omega^\omega</math> 。

''P''(''m'') 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是[[良基关系]]，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但''P''(''m'')(''n'') 是由 ''G''(''m'')(''n'') 計算出來的。 ''G''(''m'')(''n'') 也必然停止，這意味著它會達到 0 。

雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理<ref name="kirkbyparis"/> （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的{{tsl|en|Non-standard model of arithmetic|算術非標準模型|可數非標準模型}}。

== 擴展的古德斯坦定理 ==

假設古德斯坦定理的定義中的「將''b''改為{{nowrap|''b''+1}}」的這個動作，將它改為 {{nowrap|''b''+2}}，那麼這個序列會終止嗎？
更一般地，讓 ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>, &hellip; 為任意整數列，然後讓第 {{nowrap|''n''+1}} 項的 {{nowrap|''G''(''m'')(''n''+1)}} 變成：
將 ''G''(''m'')(''n'') 改為 ''b<sub>n</sub>'' 的表示法，將 ''b<sub>n</sub>'' 改為 {{nowrap|''b''<sub>''n''+1</sub>}} 再減 1 。
我們仍可斷言這個序列仍會終止。
擴展的證明則將 {{nowrap|1 = ''P''(''m'')(''n'') = ''f''(''G''(''m'')(''n''), ''n'')}} 定義為如下：
將 ''G''(''m'')(''n'') 改為 ''b<sub>n</sub>'' 表示法，再將所有的 ''b<sub>n</sub>'' 改為第一個無限[[序数]] ω。
古德斯坦序列中，從''G''(''m'')(''n'')到{{nowrap|''G''(''m'')(''n''+1)}}的換底運算並不會改變 ''f'' 的值。
譬如，如果 {{nowrap|1=''b<sub>n</sub>'' = 4}} 且 {{nowrap|1=''b''<sub>''n''+1</sub> = 9}}，
則
<math>f(3 \cdot 4^{4^4} + 4,4) = 3 \omega^{\omega^\omega} + \omega= f(3
\cdot 9^{9^9} + 9,9)</math>。因此，序數 <math>f(3 \cdot 4^{4^4} + 4,4)</math> 是
嚴格大於序數 <math>f((3 \cdot 9^{9^9} + 9 )-1,9)</math>。

== 起始點為變量的序列長度函數 ==

'''古德斯坦函數''' <math>\mathcal{G}(n)</math> 定義為由 ''n'' 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個[[函數|完全函數]]。要測定 <math>\mathcal{G}</math> 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如{{tsl|en|Hardy hierarchy||Hardy hierarchy}} 中的 <math>H_\alpha</math> 函數，和 Löb and Wainer 的 {{tsl|en|fast-growing hierarchy|| 高成長體系}} <math>f_\alpha</math> 函數。

* Kirby and Paris (1982) 證明
:<math>\mathcal{G}</math> 有著和 <math>H_{\epsilon_0}</math> 近似的成長速度（等同於 <math>f_{\epsilon_0}</math>）; 更精確地說，對每個 <math>\alpha < \epsilon_0</math>，<math>\mathcal{G}</math> 控制 <math>H_\alpha</math>，且 <math>H_{\epsilon_0}</math> 控制 <math>\mathcal{G}\,\!</math>。
:(對兩個函數 <math>f, g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math>，我們說 <math>f</math> '''控制''' <math>g</math> 是指，如果對於所有足夠大的 <math>n</math> ，都有 <math>f(n) > g(n)</math>。）

* Cichon (1983) 證明
:<math> \mathcal{G}(n) = H_{R_2^\omega(n+1)}(1) - 1, </math>
:其中 <math>R_2^\omega(n)</math> 是將 ''n'' 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。

* Caicedo (2007) 證明如果 <math> n = 2^{m_1} + 2^{m_2} + \cdots + 2^{m_k} </math> 且有 <math> m_1 > m_2 > \cdots > m_k, </math> then
:<math> \mathcal{G}(n) = f_{R_2^\omega(m_1)}(f_{R_2^\omega(m_2)}(\cdots(f_{R_2^\omega(m_k)}(3))\cdots)) - 2</math>.

一些例子如下：

{| class="wikitable" border="1"
|-
! colspan=3 | n
! colspan=3 | <math>\mathcal{G}(n)</math> 
|-
| 1
| <math>2^0</math>
| <math>2 - 1</math>
| <math>H_\omega(1) - 1</math>
| <math>f_0(3) - 2</math>
| 2
|-
| 2
| <math>2^1</math>
| <math>2^1 + 1 - 1</math>
| <math>H_{\omega + 1}(1) - 1</math>
| <math>f_1(3) - 2</math>
| 4
|-
| 3
| <math>2^1 + 2^0</math>
| <math>2^2 - 1</math>
| <math>H_{\omega^\omega}(1) - 1</math>
| <math>f_1(f_0(3)) - 2</math>
| 6
|-
| 4
| <math>2^2</math>
| <math>2^2 + 1 - 1</math>
| <math>H_{\omega^\omega + 1}(1) - 1</math>
| <math>f_\omega(3) - 2</math>
| 3·2<sup>402653211</sup> − 2 ≈ 6.895080803×10<sup>121210694</sup>
|-
| 5
| <math>2^2 + 2^0</math>
| <math>2^2 + 2 - 1</math>
| <math>H_{\omega^\omega + \omega}(1) - 1</math>
| <math>f_\omega(f_0(3)) - 2</math>
| > [[阿克曼函數|A]](4,4)><math>{10^{10^{10^{19728}}}}</math>
|-
| 6
| <math>2^2 + 2^1</math>
| <math>2^2 + 2 + 1 - 1</math>
| <math>H_{\omega^\omega + \omega + 1}(1) - 1</math>
| <math>f_\omega(f_1(3)) - 2</math>
|  > ''A''(6,6)
|-
| 7
| <math>2^2 + 2^1 + 2^0</math>
| <math>2^{2 + 1} - 1</math>
| <math>H_{\omega^{\omega + 1}}(1) - 1</math>
| <math>f_\omega(f_1(f_0(3))) - 2</math>
|  > ''A''(8,8)
|-
| 8
| <math>2^{2 + 1}</math>
| <math>2^{2 + 1} + 1 - 1</math>
| <math>H_{\omega^{\omega + 1} + 1}(1) - 1</math>
| <math>f_{\omega + 1}(3) - 2</math>
|  > ''A''<sup>3</sup>(3,3) = ''A''(''A''(61, 61), ''A''(61, 61))
|-
| colspan=6 align=center | <math>\vdots</math>
|-
| 12
| <math>2^{2 + 1} + 2^2</math>
| <math>2^{2 + 1} + 2^2 + 1 - 1</math>
| <math>H_{\omega^{\omega + 1} + \omega^\omega + 1}(1) - 1</math>
| <math>f_{\omega + 1}(f_\omega(3)) - 2</math>
|  >  ''f''<sub>ω+1</sub>(64) > [[葛立恆數]]
|-
| colspan=6 align=center | <math>\vdots</math>
|-
| 19
| <math>2^{2^2} + 2^1 + 2^0</math>
| <math>2^{2^2} + 2^2 - 1</math>
| <math>H_{\omega^{\omega^\omega} + \omega^\omega}(1) - 1</math>
| <math>f_{\omega^\omega}(f_1(f_0(3))) - 2</math>
| 
|-
|}
（對於[[阿克曼函數]]和[[葛立恆數]]的界限，請參考{{tsl|en|fast-growing hierarchy#Functions in fast-growing hierarchies||高成長體系}}。）

== 可計算函數的應用 ==

古德斯坦定理可用於構造一個全[[可计算函数]]，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。[[图灵机]]可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 ''n'' 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

== 另見 ==
* {{tsl|en|Non-standard model of arithmetic||Non-standard model of arithmetic}}
* {{tsl|en|Fast-growing hierarchy||高成長體系}}
* {{tsl|en|Paris–Harrington theorem||Paris–Harrington theorem}}
* {{tsl|en|Kanamori–McAloon theorem||Kanamori–McAloon theorem}}
* [[Kruskal's tree theorem]]

==参考资料==
{{Reflist}}

==Bibliography==
* {{Citation |last=Goodstein |first=R. |authorlink=Reuben Goodstein |jstor=2268019 |title= On the restricted ordinal theorem |journal=[[数理逻辑学期刊|Journal of Symbolic Logic]] |volume=9 |issue=2 |year=1944 |pages=33–41 |doi=10.2307/2268019}}.
* {{Citation |last=Cichon |first=E. |title=A Short Proof of Two Recently Discovered Independence Results Using Recursive Theoretic Methods |jstor=2043364 |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=87 |issue=4 |year=1983 |pages=704–706 |doi=10.2307/2043364}}.
* {{Citation |last=Caicedo |first=A. |title=Goodstein's function |url=http://andrescaicedo.files.wordpress.com/2008/04/goodstein.pdf |journal=Revista Colombiana de Matemáticas |volume=41 |issue=2 |year=2007 |pages=381–391 |accessdate=2019-02-20 |archive-date=2011-10-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111009120050/http://andrescaicedo.files.wordpress.com/2008/04/goodstein.pdf |dead-url=no }}.

==外部連結==
* {{mathworld|GoodsteinSequence|Goodstein Sequence}}
*[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.3296 Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller]{{Wayback|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.3296 |date=20110521132707 }}
* [https://web.archive.org/web/20160411094806/https://dspace.fandm.edu/bitstream/handle/11016/23900/Kaplan_S12_MATH_Thesis_Final_5-8-12.pdf?sequence=1  A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem] - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
*[https://tromp.github.io/pearls.html#goodstein Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot] {{Wayback|url=https://tromp.github.io/pearls.html#goodstein |date=20201106232517 }}
* [http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/ The Hydra game implemented as a Java applet] {{Wayback|url=http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/ |date=20210216221621 }}
* [http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml Javascript implementation of a variant of the Hydra game] {{Wayback|url=http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml |date=20200127192338 }}
* [http://blog.kleinproject.org/?p=674 Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity]{{Wayback|url=http://blog.kleinproject.org/?p=674 |date=20120521004508 }} - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。

[[Category:集合论]]
[[Category:大數]]
[[Category:獨立結果]]