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{{TA
|G1=Math
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'''变分法'''是处理[[泛函]]的[[数学]]领域，和处理函数的普通[[微积分]]相对。譬如，这样的[[泛函]]可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是[[极值]]函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些[[曲线]]上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是[[最速降线]]，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是[[欧拉－拉格朗日方程]]。它对应于泛函的[[临界点]]。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在[[理论物理]]中非常重要：在[[拉格朗日力学]]中，以及在[[最小作用量原理]]在[[量子力学]]的应用中。变分法提供了[[有限元方法]]的数学基础，它是求解[[边界值问题]]的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在[[純粹數學]]中的例子有，[[黎曼]]在[[调和函数]]中使用[[狄利克雷原理]]。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如[[希尔伯特空间]]技术，[[莫尔斯理论]]，或者[[辛几何]]。'''变分'''一词用于所有极值泛函问题。[[微分几何]]中的[[测地线]]的研究是很显然的变分性质的领域。[[极小曲面]]（[[肥皂泡]]）上也有很多研究工作，称为[[普拉托问题]]。

== 历史 ==

变分法可能是从[[约翰·伯努利]]（1696）提出[[最速降線問題|最速曲线]]（brachistochrone curve）问题开始出现的。<ref name=GelfandFominP3>{{cite book|last1=Gelfand|first1=I. M.|authorlink1=Israel Gelfand|last2=Fomin|first2=S. V.|authorlink2=Sergei Fomin|ref=harv|title=Calculus of variations|year=2000|publisher=Dover Publications|location=Mineola, N.Y.|isbn=978-0486414485|page=3|url=http://store.doverpublications.com/0486414485.html|edition=Unabridged repr.|editor1-last=Silverman|editor1-first=Richard A.|access-date=2013-05-22|archive-date=2019-05-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190503235216/http://store.doverpublications.com/0486414485.html|dead-url=no}}</ref>它立即引起了[[雅各布·伯努利]]和[[洛必达]]（Marquis de l'Hôpital）的注意。但[[莱昂哈德·欧拉|欧拉]]首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。[[莱昂哈德·欧拉|欧拉]]对这个理论的贡献非常大。

[[阿德里安-马里·勒让德|勒让德]]（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。[[艾萨克·牛顿|牛顿]]和[[戈特弗里德·莱布尼茨|莱布尼茨]]也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、[[卡尔·弗里德里希·高斯|高斯]]（1829）、[[西莫恩·德尼·泊松|泊松]]（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和[[卡尔·雅可比|雅可比]]（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由[[奥古斯丁·路易·柯西|柯西]]（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年[[大卫·希尔伯特|希尔伯特]]发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。

在20世纪[[大卫·希尔伯特|希尔伯特]]、[[埃米·诺特]]、[[列奧尼達·托內利]]、[[昂利·勒貝格]]和[[雅克·阿达马]]等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在[[莫尔斯理论]]中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法[[最优控制|最优控制理论]]发展了新的数学工具。

==欧拉-拉格朗日方程==

在理想情形下，一函數的极大值及极小值會出現在其[[導數]]為<math>0</math>的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的[[欧拉-拉格朗日方程]]。以下以尋找連接平面上兩點<math>(x_1, y_1)</math>和<math>(x_2, y_2)</math>最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

:<math> A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx </math>

其中
:<math> f'(x) = \frac{df}{dx}, \,</math> <math>f(x_1)=y_1, \,</math> <math> f(x_2)=y_2 \,</math>。

函數<math>f</math>至少需為一階可微的函數。若<math>f_0</math>是一個[[极值|局部最小值]]，而<math>f_1</math>是一個在端點<math> x_1</math>及<math> x_2</math>取值为零并且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子
:<math>A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]</math>

其中<math> \epsilon </math>為任意接近<math>0</math>的數字。

因此<math>A[f_0 + \epsilon f_1]</math>對<math>\epsilon</math>的導數（'''A的一階導數'''）在<math>\epsilon=0</math>時必為<math>0</math>：

<math> \frac{d}{d\epsilon} \int_{x_1}^{x_2} \left. \sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2} dx \right|_{\epsilon =0} = \int_{x_1}^{x_2} \left. \frac{(f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)) f_1'(x)}{\sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2}}\right|_{\epsilon =0} dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x)f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}\,dx = 0</math>

此條件可視為在可微分函數的空間中，<math>A[f_0]</math>在各方向的導數均為<math>0</math>。若假設<math>f_0</math>二階可微（或至少[[弱微分]]存在），則利用[[分部積分法]]可得

:<math> \int_{x_1}^{x_2}  f_1 (x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0, </math>

其中<math>f_1</math>為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是[[變分法基本引理]]的一個特例：

:<math> I =\int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) H (x) dx =0</math>，

其中<math>f_1</math>為在兩端點皆為<math>0</math>的任意可微函數。

若存在<math>x = \hat x</math>使<math>H (x) > 0</math>，則在<math>\hat x</math>周圍有一區間的H也是正值。可以選擇<math>f_1</math>在此區間外為<math>0</math>，在此區間內為非負值，因此<math>I >0</math>，和前提不合。若存在<math>x = \hat x</math>使<math>H (x) < 0</math>，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

:<math> \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0</math>，

由結論可推得下式：

:<math>\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0</math>，

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

:<math> A[f] = \int_{x_1}^{x_2}  L(x,f,f') dx</math>，

其中<math>f</math>需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量<math>L</math>在極值<math>f_0</math>处滿足[[欧拉-拉格朗日方程]]

:<math> -\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0</math>，

不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的[[必要條件]]，並不是充分條件。<!--

==du Bois Raymond定理==-->

==費馬原理==

[[費馬原理]]指出：光會沿着兩端點之間所需[[光程]]最短的路徑前進。假設<math> y=f (x)</math>為光的路徑，則光程可以下式表示：

:<math> A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx</math>，

其中[[折射率]]<math> n(x,y)</math>依材料特性而定。

若選擇<math>  f (x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)</math>，則<math>A</math>的一階導數（<math>A</math>對<math> \epsilon </math>的微分）為：

:<math> \delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0)f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y(x,f_0) f_1\sqrt{1 + f_0'(x)^2}  \right] dx</math>，

將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程

:<math> -\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0)f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y(x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0</math>。

光線的路徑可由上述的積分式而得。

===斯乃爾定律===
當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮

:<math> n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x<0</math>，
:<math> n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0</math>，

其中<math>n_-</math>和<math>n_+</math>是常數。在<math>x<0</math>或<math>x>0</math>的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在<math>x=0</math>的位置，<math>f</math>必須連續，不過<math>f'</math>可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為

:<math> \delta A[f_0,f_1] = f_1 (0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right]</math>。

和<math>n_-</math>相乘的係數是入射角的正弦值，和<math>n_+</math>相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照[[斯涅爾定律]]，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

===費馬原理在三維下的形式===

費馬原理可以用向量的形式表示：令<math>X=(x_1,x_2,x_3)</math>，而''t''為其參數，<math>X (t)</math>是曲線<math>C</math>參數化的表示，而令<math>\dot X (t)</math>為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

:<math> A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n (X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt</math>。

上述積分和<math>t</math>無關，因此也和''<math>C</math>''的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式

:<math> \frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n</math>，

其中
:<math> P = \frac{n (X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }</math>。

依P的定義可得下式

:<math> P \cdot P = n (X)^2</math>。

因此上述積分可改為下式

:<math> A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt</math>。

依照上式，若可以找到一個函數<math>\psi</math>，其梯度为<math>P</math>，則以上的積分<math>A</math>就可以由在積分端點上<math>\psi</math>的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和<math>\psi</math>的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數<math>\psi</math>，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

===和波動方程的關係===
<!--
以下是非均勻介質下的[[波動方程]]

:<math> u_{tt} = c^2 \nabla \cdot \nabla u,</math>，

其中''c''是光速，會隨''X''而變化。光的[[波前]]是此偏微分方程式的特徵曲線，滿足下式

:<math> \varphi_t^2 = c (X)^2 \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi</math>。

We may look for solutions in the form

:<math> \varphi(t,X) = t - \psi (X)</math>。

In that case, ψ satisfies

:<math> \nabla \psi \cdot \nabla \psi = n^2,</math>，

where <math>n=1/c</math>。 According to the theory of [[first order partial differential equation]]s, if <math>P = \nabla \psi, </math> then ''P'' satisfies

:<math> \frac{dP}{ds} = 2 n \nabla n,</math>，

along a system of curves('''the light rays''') that are given by

:<math> \frac{dX}{ds} = P</math>。

These equations for solution of a first-order partial differential equation are identical to the Euler-Lagrange equations if we make the identification

:<math> \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{ \dot X \cdot \dot X} }{n}</math>。

We conclude that the function ψ is the value of the minimizing integral ''A'' as a function of the upper end point. That is, when a family of minimizing curves is constructed, the values of the optical length satisfy the characteristic equation corresponding the wave equation. Hence, solving the associated partial differential equation of first order is equivalent to finding families of solutions of the variational problem. This is the essential content of the [[Hamilton-Jacobi theory]], which applies to more general variational problems.

-->
== 應用 ==
[[最优控制]]的理论是变分法的一个推广。

==参看==

*[[等周不等式]]
*[[变分原理]]
*[[費馬原理]]
*[[最小作用量原理]]
*[[无穷维优化]]
*[[泛函分析]]
*[[摄动理论|微扰法]]

==参考==
<references />
* [[Sergei Fomin|Fomin, S.V.]] and [[Israel Gelfand|Gelfand, I.M.]]: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
* Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
* Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
* Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
* Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
* Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
* Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
* Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

==外部链接==
*[http://www.youtube.com/user/PengTitus#grid/user/C47FEEDB6F5FB460 变分法线上影音教学]{{Wayback|url=http://www.youtube.com/user/PengTitus#grid/user/C47FEEDB6F5FB460 |date=20091017222525 }}by PengTitus
*[https://web.archive.org/web/20060311033849/http://www.sm.luth.se/~johanb/applmath/chap3en/index.htm Chapter III: Introduction to the calculus of variations] by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
*[https://web.archive.org/web/20060525200908/http://planetmath.org/encyclopedia/CalculusOfVariations.html PlanetMath.org: Calculus of variations]
*[http://mathworld.wolfram.com/CalculusofVariations.html Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CalculusofVariations.html |date=20060308153002 }}
*[https://web.archive.org/web/20170609215523/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus_of_Variations Example problems] in the calculus of variations

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{{DEFAULTSORT:B}} 
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[[Category:变分法]]
[[Category:數學最佳化]]