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{{NoteTA|G1=物理學}}
'''变分原理'''是[[物理学]]的一条基本原理，以[[变分法]]来表达。 

根据[[科内利乌斯·兰佐斯]]的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种[[自伴算子|自伴]]的表示。这种表示也被说成是[[埃尔米特算子|埃尔米特]]的，描述了在埃尔米特变换下的[[不变量]]。 

[[菲利克斯·克莱因]]的[[爱尔兰根纲领]]试图鉴识这类在一组变换下的不变量。在物理学的[[诺特定理]]中，一组变换的[[庞加莱群]]（现在[[广义相对论]]中被称为[[规范群]]）定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即[[作用量|作用原理]]。

==实例==

* [[几何光学]]中的[[费马原理]]
* [[力学]]中的[[最小作用量原理]]，[[电磁理论]]，及[[量子力学]]
* 根据[[斯蒂芬·沃尔夫勒姆]]的说法（参见''一种新科学''一书[http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1052 1052页]{{Wayback|url=http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1052 |date=20070927195028 }}），[[爱因斯坦场方程]]也涉及一个变分原理，作为''[[爱因斯坦-希尔伯特作用量]]''的约束。

==量子力学中的变分原理==

假設你想計算一個哈密顿量為''H''的體系的基態能量E<sub>gs</sub>，换句话说，已经知道体系的[[哈密顿算符]]''H''。如果不能解[[薛定谔方程]]来找出[[波函数]]，可以任意猜测一个归一化的波函数，比如说φ，结果是根据猜测的波函数得到的哈密顿算符的期望值将会高于实际的基态能量。换言之：
:<math>E_{ground} \le \left\langle\phi|H|\phi\right\rangle </math>
这对于所猜测的任何φ都适用。

===证明===

任一个波函数φ都可以展开为哈密顿算符的实际[[本征函数]]的[[线性组合]]（我们假定这些本征函数是[[正交归一]]的）：
:<math>\phi = \sum_{n} c_{n}\psi_{n} \,</math>

那么，哈密顿算符的[[期望值]]是：
:{|
|<math>\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \, </math>
|<math> = \left\langle\sum_{n}c_{n}\psi_{n}|H|\sum_{m}c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,</math>
|-
|
|<math> = \sum_{n}\sum_{m}\left\langle c_{n}\psi_{n}|E_{m}|c_{m}\psi_{m}\right\rangle \,</math>
|-
|
|<math> = \sum_{n}\sum_{m}c_{n}^*c_{m}E_{m}\left\langle\psi_{n}|\psi_{m}\right\rangle \,</math>
|-
|
|<math> = \sum_{n} |c_{n}|^2 E_{n} \,</math>
|}

如果把<math>E_{n}</math>替换成基态能量<math>E_{g}</math>，从求和公式中提出来，那么等号变成大于等于号。亦即：
:<math>\left\langle\phi|H|\phi\right\rangle \ge E_{g} \,</math>

===推广===

给定一个描述所研究的体系的哈密顿算符'''''H'''''和''任意''可归一化的并带有适当体系未知波函数参数的函数'''''Ψ'''''，我们定义[[泛函]]：

:<math> \varepsilon\left[\Psi\right] = \frac{\left\langle\Psi|\hat{H}|\Psi\right\rangle}{\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle}.</math>

那么变分原理说明：
* <math>\varepsilon \geq E_0</math>，式中<math>E_0</math>是该哈密顿算符的具有最低能量的本征态（基态）。
* <math>\varepsilon = E_0</math>当且仅当<math>\Psi</math>确切地等同于研究体系的基态。

上述变分原理是[[变分法]]的基本原理，用于[[量子力学]]和[[量子化学]]来近似求解体系[[基态]]。

=== 变分法应用示例<ref>{{Cite book|chapter=第7章；变分原理|url=https://www.worldcat.org/oclc/503192483|publisher=机械工业出版社|date=2009|location=Beijing|isbn=9787111278771|oclc=503192483|last=, David J.|last2=Hu, Xing.Li, Yuxiao.|last3=|last4=|last5=|last6=|title=量子力学概论|first=Griffiths|year=|pages=192-193}}</ref>{{rp|192-193}} ===

==== 一维简谐振子 ====
一维简谐振子的哈密顿算符为<math>H=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2x^2</math>，其中<math>\hbar</math>为[[约化普朗克常数]]，<math>\mu</math>为简谐振子的重量，<math>\omega</math>为简谐振子的频率。

选取[[高斯函数]]作为试探波函数<math>\psi \left( x \right) =Ae^{-bx^2}</math>，其中<math>b</math>为常数，由波函数的归一化<math>\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1</math> ，可得<math>A=\left( \frac{2b}{\pi} \right) ^{\frac{1}{2}}</math>，

哈密顿量为<math>H=T+V</math>，其中<math>T</math>为动能，<math>V</math>为势能。

<math>H=T+V=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-bx^2}\frac{d^2}{dx^2}\left( e^{-bx^2} \right) dx}+\frac{1}{2}\mu\omega ^2\left| A \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-2bx^2}x^2dx=}\frac{\hbar ^2b}{2\mu}+\frac{\mu\omega ^2}{8b}</math>

对于任意<math>b</math>，<math>H</math>必大于<math>E_g</math>，求<math>H</math>的极小值，可使<math>H</math>对<math>b</math>求导为<math>0</math>，即

<math>\frac{dH}{db}=\frac{\hbar ^2}{2\mu}-\frac{\mu\omega ^2}{8b^2}=0\Rightarrow b=\frac{\mu\omega}{2\hbar}</math>

此时，<math>H_{\min}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>，而一维简谐振子的能量为<math>E=\left( n+\frac{1}{2} \right) \hbar \omega </math>，采用变分法得到了一维简谐振子的基态能量。

<br />

==延伸阅读==

* Epstein S T 1974 "''The Variation Method in Quantum Chemistry''". (New York: Academic)
* Lanczos C, ''The Variational Principles of Mechanics'' (Dover Publications)
* Nesbet R K 2003 "''Variational Principles and Methods In Theoretical Physics and Chemistry''". (New York: Cambridge U.P.)
* Adhikari S K 1998 "''Variational Principles for the Numerical Solution of Scattering Problems''". (New York: Wiley)
* Gray C G, Karl G and Novikov V A 1996 Ann. Phys. 251 1.

==参见==

* [[作用量|作用原理]]
* [[物理学史]]

==外部链接和参考资料==
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 013805326X}}
* Stephen Wolfram, ''A New Kind of Science'' [http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1052 p. 1052]{{Wayback|url=http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1052 |date=20070927195028 }}
* Gray, C.G., G. Karl, and V. A. Novikov, "''[http://arxiv.org/abs/physics/0312071 Progress in Classical and Quantum Variational Principles]{{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/physics/0312071 |date=20151019124317 }}''". 11 Dec 2003. physics/0312071 Classical Physics.
* Venables, John, "''[http://venables.asu.edu/quant/varprin.html The Variational Principle and some applications]{{Wayback|url=http://venables.asu.edu/quant/varprin.html |date=20150926212853 }}''". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)
* Williamson, Andrew James, "''[http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~ajw29/thesis/node15.html The Variational Principle]{{Wayback|url=http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~ajw29/thesis/node15.html |date=20040813170851 }} -- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations''". Robinson College, Cambridge,  Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)
* Tokunaga, Kiyohisa, "''[https://web.archive.org/web/20081003102601/http://www.d3.dion.ne.jp/~kiyohisa/tieca/26.htm Variational Principle for Electromagnetic Field]''". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI



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