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'''发散级数'''（{{lang-en|Divergent Series}}）是指（按[[柯西判別法|柯西]]意义下）不[[收敛]]的[[级数]]。如级数<math>1 + 2 + 3 + 4 + \cdots</math>和<math>1 - 1 + 1 - 1 + \cdots</math> ，也就是说该级数的部分和全部[[序列]]没有一个有穷[[极限_(数列)|极限]]。

如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个[[反例]]是[[调和级数]]
:<math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.</math>

调和级数的发散性被中世纪数学家[[尼克尔·奥里斯姆|奥里斯姆]]所证明。{{NoteTA|G1=Math}}
{{quotebox|thumb|width=30%

|quote=Les séries divergentes sont en général
quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. 
(“发散级数通常是灾难性的，基于它的任何证明都是不光彩的。”经常被翻译为“发散级数是魔鬼的发明 ……”)
|source=[[尼尔斯·阿贝尔|N. H. Abel]], letter to Holmboe, January 1826, 再版于他论文集的第二卷。}}

== 可和法 ==
在实际的[[数学]]研究以及[[物理]]、[[天文]]等其它[[学科]]的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以[[数学家]]们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。每一种定义都被称为一个'''可和法'''（{{lang-en|Summability method}}），也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个[[线性泛函]]，例如[[阿贝尔和|阿贝尔可和法]]、[[切萨罗和|切萨罗可和法]]与[[博雷尔求和|波莱尔可和法]]等。

可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。例如切萨罗可和法将[[格兰迪级数]]
:<math>1 - 1 + 1 - 1 + \cdots</math>
可和到1/2。大部分可和法与相应幂级数的解析延拓相关，每个适当的可和法试图描述的是序列趋于无穷时的平均表现，这种意义下也可以理解为无穷序列的均值。

== 历史 ==
{{quotebox|thumb|width=33%
|quote=…… 柯西之前的数学家们不会问“我们应该如何定义1&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1...？”而会问“1&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1...是什么？”他们认知中的这种习惯将他们引入了不必要的疑惑和争辩，它们往往是非常口头上的。
|source= [[戈弗雷·哈罗德·哈代|G. H. Hardy]], Divergent series, 第6页}}
19世纪前，[[欧拉]]以及其他数学家广泛地应用发散级数，但经常引出令人困惑与矛盾的结果。其中，主要的问题是欧拉的思想，即每个发散级数都应有一个自然的和，而无需事先定义发散级数的和的含义。[[柯西]]最终给出了（收敛）级数的和的严格定义，从这过后的一段时间，发散级数基本被排除在数学之外了。直到1886年，它们才在[[庞加莱]]关于渐进级数的工作中再次出现。在1890年，[[切萨罗]]意识到可以对一类发散级数的和给出严格定义，从而定义了[[切萨罗和]]。（这并不是第一次应用到切萨罗和，[[弗罗贝尼乌斯]]在1880年曾经使用过；切萨罗关键的贡献并不是发现了这个可和法，而是由于他認為「应当给出发散级数和的精确定义」的思想。）在切萨罗的论文发表的后一年，其他的一些数学家陆续给出了发散级数和的其他定义，不過这些定义并不总是相容的：不同的定义可能对相同的发散级数给出不同的和。所以，当提及发散级数的和时，需要具体指明所使用的是哪个可和法，尽管大部分常用的可和法某种意义上是彼此相容的。

== 关于发散级数求和的可和法定理 ==
收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据[[哈恩-巴拿赫定理]]可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于[[选择公理]]或它的等价形式，例如[[佐恩引理]]，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如[[阿贝尔和|阿贝尔可和法]]、[[切萨罗和|切萨罗可和法]]、[[博雷尔求和|波莱尔可和法]]以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了[[傅里叶分析]]中[[巴拿赫代数]]与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与[[插值|插值法]]和序列变换相关，这类技巧的例子有：[[帕德近似]]、Levin类序列变换以及与[[量子力学]]中高阶[[摄动理论|微扰论]]的[[重整化]]技巧相关的依序映射。

== 可和法的基本性质 ==
可和法通常关心的是级数的部分和序列。有时这个序列并不收敛，但经常能发现，从序列首项起，逐个取越来越多的项的[[平均数|平均]]，得到的均值列可以是收敛的，可以用这个均值列的极限取代原本的概念，用以表示相应级数的和。所以通常为了得到级数 {{nowrap|''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> + ...,}}的和，会从序列''s''出发考虑，其中{{nowrap|1=''s''<sub>0</sub> = ''a''<sub>0</sub>}}，{{nowrap|1=''s''<sub>''n''+1</sub> = ''s''<sub>''n''</sub> + ''a''<sub>''n''+1</sub>}}，其中在收敛的情形下，序列''s''趋于某个极限''a''。每个'''可和法'''也能被理解为一类级数的部分和序列到实数或复数的一个映射，在这种理解下，可以通过考虑将相应级数映射到相同的值的映射，将其化为'''级数可和法''' '''A'''<sup>''Σ''</sup>，反之亦然。这些可和法通常需要遵循或者拥有一类自然的性质，使得它们在应用上如同极限的概念一样，更容易推出一般性的结论。
# '''正则性'''. 称可和法'''A'''为''正则''的，是指对每个收敛到''x''的序列''s''，有{{nowrap|1='''A'''(''s'') = ''x''}}。等价地说，相应的级数可和法总会给出{{nowrap|1='''A'''<sup>''Σ''</sup>(''a'') = ''x''}}。
# '''线性'''. 称可和法'''A'''为''线性''的，是指它作为(部分和)序列上的函数是一个[[线性泛函]]，因此对序列''r''、''s''与实或复的标量''k''有{{nowrap|1 = '''A'''(''k'' ''r'' + ''s'') = ''k'' '''A'''(''r'') + '''A'''(''s'')}}。 由于级数''a''的项{{nowrap|1 = ''a''<sub>''n''+1</sub> = ''s''<sub>''n''+1</sub> − ''s''<sub>''n''</sub>}}是一族关于序列''s''的线性泛函，反之亦然，所以这也等价于说 '''A'''<sup>''Σ''</sup>是作用在级数的项序列上的线性泛函。
# '''稳定性''' (也被称为可移性).若''s''是从''s''<sub>0</sub>开始的序列，并且''s''′是通过删去''s''的首项并在余下每一项减去''s''<sub>0</sub>得到的序列，也就是{{nowrap|1=''s''′<sub>''n''</sub> = ''s''<sub>''n''+1</sub> − ''s''<sub>0</sub>}}，则'''A'''(''s'')有定义当且仅当'''A'''(''s''′)有定义，并且{{nowrap|1='''A'''(''s'') = ''s''<sub>0</sub> + '''A'''(''s''′)}}。 等价地说，只要对每个''n''有{{nowrap|1=''a''′<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n''+1</sub>}}，那么{{nowrap|1='''A'''<sup>''Σ''</sup>(''a'') = ''a''<sub>0</sub> + '''A'''<sup>''Σ''</sup>(''a''′)}}<ref>{{cite web|title=Summation methods|website=Michon's Numericana|url=http://www.numericana.com/answer/sums.htm|accessdate=2017-05-06|archive-date=2017-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20170601171804/http://www.numericana.com/answer/sums.htm|dead-url=yes}}</ref><ref>{{cite web|title=Translativity|website=The Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Translativity_of_a_summation_method|accessdate=2017-05-06|archive-date=2015-06-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20150621172336/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Translativity_of_a_summation_method|dead-url=no}}</ref>。对此的另一种表述是，在这个可和法下可和的级数都满足[[移位法则]]。

有许多可和法都满足比正则性更强的全正则性，例如切萨罗和。
{{ordered list|start=1A|'''全正则性'''.倘若可和法不仅正则，还将每个发散到正无穷的序列可和到正无穷，发散到负无穷的序列可和到负无穷，则称这个可和法是全正则的。}}
这种性质是将正则性与[[广义实数]]结合考虑后所自然产生的，换句话说，并不将通常意义下的发散到正无穷的级数视作没有极限的，而是视作以正无穷为“极限”。例如一个可和法将<math>1 + 2 + 3 + 4 + \cdots</math>可和到<math>-1/12</math>，那么它一定不是全正则的。类似的，也可以在纳入广义实数考虑的情形下，借助广义实数间的运算法则定义出类似意义下的线性。

第三个性质不那么重要，对一些重要的可和法而言，例如[[博雷尔求和|波莱尔可和法]]，可能会没有这种性质<ref>{{citation
 | last = Muraev | first = E. B.
 | issue = 6
 | journal = Akademiya Nauk SSSR
 | mr = 515185
 | pages = 1332–1340, 1438
 | title = Borel summation of ''n''-multiple series, and entire functions associated with them
 | volume = 19
 | year = 1978}}. Muraev注意到波莱尔可和法在两个方向中的一个上是可移的：在级数的起始处添入零扩充这个级数，并不会改变这个级数的可和性以及可和到的值。但是他陈述道“反过来并不正确”。</ref>。应该注意到的是，这里并没有希望所考虑的可和法定义在每个实序列或者有界实序列上，这是因为大部分有力的可和法也无法满足这种性质。倘若希望讨论额外满足这种性质的可和法，例如[[巴拿赫极限]]，需要证明这种可和法的存在性，这将会涉及[[哈恩-巴拿赫定理]]。

还可以给出比稳定性稍弱一点的条件。
{{ordered list|start=3A|'''有限可重排性'''.若 ''a''和''a''′是两个级数，之间存在一个[[双射]] <math> f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} </math> ，使得{{nowrap|1=''a''<sub>''i''</sub> = ''a''′<sub>''f''(''i'')</sub>}}对每个 ''i''成立，还存在<math> N \in \mathbb{N} </math>使得对每个''i''&nbsp;>&nbsp;''N''都有{{nowrap|1=''a''<sub>''i''</sub> = ''a''′<sub>''i''</sub>}}，则 {{nowrap|1='''A'''<sup>''Σ''</sup>(''a'') = '''A'''<sup>''Σ''</sup>(''a''′)}}。(换句话说，''a''′和''a''只要重排有限项后便是同一个级数。)注意到这是比'''稳定性'''要弱的条件，因为每个遵循'''稳定性'''的可和法也会遵循'''有限可重排性'''，但反过来并不正确。}}

对于两个不同的可和法'''A'''和'''B'''，会希望它们能享有''相容性''：称'''A'''和'''B'''为相容的，是指对两个可和法下都可和的序列''s''而言，有{{nowrap|1='''A'''(''s'') = '''B'''(''s'')}}。如果两个可和法是相容的，并且其中一个能可和的级数多于另一个，便把能可和得更多的那个称为''更强的''。

有一些有力的数值可和法既不正则也不线性，例如一些非线性的序列变换，像是Levin类序列变换和[[帕德近似]]，以及基于[[重整化]]技巧中微扰级数的依序映射。

倘若将正则性、线性和稳定性视作公理，那么通过基本的代数操作便能对许多发散级数求和。这部分地解释了不同的可和法对一类级数总给出同一个值的原因。

例如，对于公比{{nowrap|1=''r''≠1}}的[[发散几何级数|几何级数]]，假定在某个符合以上三条的可和法下都是可和的，便可得到
:<math>\begin{align}
G(r,c) & = \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \\
 & = c + \sum_{k=0}^\infty cr^{k+1} & &\\
 & = c + r \sum_{k=0}^\infty cr^k & &  \\
 & = c + r \, G(r,c), & & \\
G(r,c) & = \frac{c}{1-r} .& & \\
\end{align}</math>
值得一提的是，这里<math>G(r,c)</math>所满足的方程<math>x=c+r x</math>，在{{nowrap|1=''r''>1}}时也可理解为以<math>\infty</math>为另一个解，所以在'''这种意义'''下便不能断言<math>\frac{c}{1-r}</math>是唯一的解。更严格地说，每个遵循这些性质，并且将相应几何级数可和到有限值的可和法，一定将其可和到这个值。进一步的，当''r''是大于1的实数时，部分和递增且无界，从而在之前所说的平均法下，以正无穷为和。

==传统意义下的可和法==

常规收敛和绝对收敛是级数在传统意义下的两个可和法，这里只是出于完整性的考虑才加以讨论；严格来说，它们并不算是发散级数的可和法，这是因为只有当这些可和法失效时，才说一个级数发散。大部分发散级数的可和法都是这两个可和法在更大一类序列上的延拓。

===级数的和===

柯西对级数{{nowrap|''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub> + ...}}的和的经典定义为部分和序列{{nowrap|''a''<sub>0</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>}}的[[极限 (数列)|极限]]。通过两个实数之间加法运算的定义，再依据数学归纳法，不难自然地定义出有限个实数间的加法。但是有限个实数间的加法有定义并不意味着能直接地导出级数的和的定义，因为此时并没有定义无限项相加的概念，只有借助极限进行额外定义才能明确级数的和的概念。

===绝对收敛===

给定收敛到''s''的收敛级数''a''，倘若任意置换级数''a''的项得到级数''a''′后，''a''′收敛也总是收敛到''s''，则称级数''a''是绝对收敛的。在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。

==Nørlund平均==
取从''p''<sub>0</sub>起的正项序列''p<sub>n</sub>''，并且满足
:<math>\frac{p_n}{p_0+p_1 + \cdots + p_n} \rightarrow 0.</math>
用序列''p''变换序列''s''，给出加权平均，也就是取
:<math>t_m = \frac{p_m s_0 + p_{m-1}s_1 + \cdots + p_0 s_m}{p_0+p_1+\cdots+p_m}.</math>
当''m''趋于无穷时，''t<sub>m</sub>''的极限倘若存在，则称其为''s''的'''Nørlund平均'''或者'''Nørlund和''' '''N'''<sub>''p''</sub>(''s'')，相应的可和法称为'''Nørlund可和法'''。

Nørlund可和法是全正则、线性、稳定的。令人惊讶的是，任意两个Nørlund可和法都是相容的。

===切萨罗可和法===
{{main|切萨罗求和}}
最特别的Nørlund可和法是切萨罗可和法。

考虑级数<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>，记<math>s_n = a_1 + \cdots + a_n</math>为它的部分和，再记<math>t_n = \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n}</math>。如果<math>t_n \rightarrow s</math>，则称这个级数的切萨罗和为<math>s</math>。这显然是一个Nørlund可和法。

作为推广，取''p<sup>k</sup>''为
:<math>p_n^k = {n+k-1 \choose k-1}.</math>
定义{{nowrap|1='''N'''<sub>(''p<sup>k</sup>'')</sub>(''s'')}}为切萨罗和{{nowrap|1=''C''<sub>''k''</sub>(''s'')}}，''k''不必总为整数。当{{nowrap|1=''k'' ≥ 0}}时，切萨罗和也是Nørlund和，从而是全正则、线性、稳定并且两两相容的。其中''C''<sub>0</sub>是常规的和，''C''<sub>1</sub>是经典的[[切萨罗和]]。进一步的，若{{nowrap|1=''h'' > ''k''}}，则''C''<sub>''h''</sub>强于''C''<sub>''k''</sub>。

==阿贝尔型可和法==
假定{{nowrap|1=''λ'' = {''λ''<sub>0</sub>, ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>,...}}}是严格递增趋于无穷的序列，并且{{nowrap|1=''λ''<sub>0</sub> ≥ 0}}。倘若
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)</math>
对每个实数''x''&nbsp;>&nbsp;0收敛，则定义其'''阿贝尔型平均'''/'''阿贝尔型可和法''' ''A''<sub>''λ''</sub>为
:<math>A_\lambda(s) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x).</math>

更一般地说，如果级数''f''只对大的''x''收敛，但能解析延拓到每个正的实''x''上，那么依旧能以上述方式定义出相应的可和法。

这类级数也被称为广义[[狄利克雷级数]]；在物理应用中，这被称为热核正则化方法。

阿贝尔型可和法是正则、线性的，但不稳定，并且两个不同的阿贝尔型可和法也不总是相容的。不过，其中一些可和法是非常重要的。

===阿贝尔可和法===
{{see also|阿贝尔定理}}
如果取{{nowrap|1 = ''λ''<sub>''n''</sub> = ''n''}}，便得到了'''阿贝尔可和法'''。并且

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{-nx} = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n,</math>

其中''z''&nbsp;=&nbsp;exp(−''x'')。因此当''x''右趋于0时，''f''(''x'')的极限恰为''z''左趋于1时，幂级数''f''(''z'')的极限。所以阿贝尔和''A''(''s'')也可以定义为

:<math>A(s) = \lim_{z \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.</math>

阿贝尔可和法某种意义上非常有趣，因为它和每个切萨罗可和法相容且更有力，即总有{{nowrap|1 = ''A''(''s'') = ''C''<sub>''k''</sub>(''s'')}}，只要后者有定义。阿贝尔和是正则、线性、稳定的，并且与切萨罗可和法相容。

===林德勒夫可和法===
如果取{{nowrap|1 = ''λ''<sub>''n''</sub> = ''n'' log(''n'')}}，便得到了'''林德勒夫可和法'''（指标从1算起），有

:<math>f(x) = a_1 + a_2 2^{-2x} + a_3 3^{-3x} + \cdots .</math>

于是''L''(''s'')或者说'''林德勒夫和''' {{harv|Volkov|2001}}，是''x''右趋于0时''f''(''x'')的极限。林德勒夫和是非常有力的可和法，倘若应用在有正收敛半径的幂级数上，那么在这个幂级数的[[米塔-列夫勒星形域]]上处处都是可和的。

准确的说，如果''g''(''z'')是在原点解析的解析函数，从而有相应正收敛半径的[[麦克劳林级数]]，并且在其米塔-列夫勒星形域上总有{{nowrap|1 = ''L''(''G''(''z'')) = ''g''(''z'')}}。进一步的，{{nowrap|1 = ''L''(''G''(''z''))}}在这个星形域的每个紧集上一致收敛到''g''(''z'')。

==解析延拓==
{{see also|解析延拓}}

有一些可和法涉及了对相关函数的解析延拓的讨论。

===幂级数的解析延拓===

如果Σ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>对小的复''x''收敛，并且能沿着某条路径从''x''&nbsp;=&nbsp;0延拓到''x''&nbsp;=&nbsp;1，则可以把级数的和定义为延拓后的函数在''x''&nbsp;=&nbsp;1处的值。这个值可能会依赖于路径的选取。

===欧拉可和法===

{{main article|欧拉变换}}
欧拉可和法本质上是解析延拓的精确形式。如果一个幂级数对小的复''z''收敛，并且能从半径为{{sfrac|−1|''q''&nbsp;+&nbsp;1}}的圆解析地延拓到半径为1的圆上，而且在z=1处连续，则此处的值被称为级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;....的欧拉和或是(E,''q'')和。欧拉在解析延拓被定义前普遍地应用这个概念，并且给出了幂级数解析延拓的精确形式。

欧拉变换的操作能被重复上好几次，它本质上等价于考虑幂级数在''z''&nbsp;=&nbsp;1处的解析延拓。

===狄利克雷级数的解析延拓===

考虑狄利克雷级数

:<math>f(s) = \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s}+ \cdots </math>
解析延拓到''s''&nbsp;=&nbsp;0处的值，如果存在便是唯一的，将其定义为相应级数的和便给出了一个可和法。这个可和法有时会被混同于zeta函数的正则化。

===zeta函数的正则化===

如果级数

:<math>f(s) = \frac{1}{a_1^s} + \frac{1}{a_2^s} + \frac{1}{a_3^s}+ \cdots </math>

(对于正的''a''<sub>''n''</sub>)对大的实''s''收敛，并且能沿着实线解析地延拓到''s''&nbsp;=&nbsp;−1，则它在''s''&nbsp;=&nbsp;−1处的值被称为级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;...的zeta正则和，这种广义和是非线性的。在应用中，''a''<sub>''i''</sub>有时会是有紧分解的自伴算子''A''的特征值，从而''f''(''s'')是''A''<sup>−''s''</sup>的迹。例如，若''A''有特征值 1, 2, 3, ... 则''f''(''s'')是[[黎曼zeta函数]]， ''ζ''(''s'')在''s''&nbsp;=&nbsp;−1处的值是−{{sfrac|1|12}}，这为发散级数[[1 + 2 + 3 + 4 + …]]指派了相应的和。其它的''s''处的值，也能以此被理解为定义了相应的广义和，像是{{nowrap|1=''ζ''(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −{{sfrac|1|2}}}}、{{nowrap|1=''ζ''(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0}}。一般而言，
:<math>\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \cdots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}\, ,</math>
其中''B<sub>k</sub>''是[[伯努利数]].<ref>{{cite web|url=http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/|title=The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation|first=Terence|last=Tao|date=2010-04-10|accessdate=2017-05-09|archive-date=2017-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170606223213/https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/|dead-url=no}}</ref>

==基于整函数的可和法==
如果''J''(''x'')&nbsp;=&nbsp;Σ''p''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>是一个[[整函数]]，并且下述极限存在，则级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;...的''J''和被定义为
:<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sum_np_n(a_0+\cdots+a_n)x^n}{\sum_np_nx^n}.</math>

在一个变体下，''J''相应的级数有有限收敛半径''r''并且在''x''&nbsp;=&nbsp;''r''处发散。在这种情形下也可以用如上方式定义相应的可和法，不过要将''x''趋于无穷大替换为''x''（左）趋于''r''。

===波莱尔可和法===
{{see also|博雷尔求和}}
''J''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>''x''</sup>这个特殊情形给出了(弱)[[博雷尔求和|波莱尔可和法]]。

===Valiron可和法===
Valiron可和法是波莱尔可和法在一类更一般的整函数''J''上的推广。Valiron展示了在一定条件下，它等价于将级数的和定义为 
:<math> \lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{H(n)}{2\pi}}\sum_{h\in Z} e^{-\frac12 h^2H(n)}(a_0+\cdots+a_h)</math>
其中''H''是''G''的二阶导数，并且''c''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>−''G''(''n'')</sup>。

==矩可和法==

''dμ''是实数上的测度，并使得每个矩

: <math>\mu_n=\int x^n \, d\mu</math>

有限。若级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;...使得

:<math>a(x)=\frac{a_0x^0}{\mu_0}+\frac{a_1x^1}{\mu_1}+\cdots</math>

对每个''x''收敛，那么级数的(''dμ'')和被定义为积分

: <math>\int a(x) \, d\mu</math>

的值，只要这个积分有定义。（注意到如果''μ''<sub>''n''</sub>增速过快，则它们并不能唯一决定测度''μ''。）

===波莱尔可和法===
例如若对正的''x''，''dμ''&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>−''x''</sup>&nbsp;''dx''，而对负的''x''为0，则''μ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''!。这个给出了一种形式的[[博雷尔求和|波莱尔可和法]]，其中级数的和为
:<math>\int_0^\infty e^{-t}\sum\frac{a_nt^n}{n!} \, dt.</math>

可以对此推广出依赖于参量''α''的可和法，称为(B′,''α'')和，其中级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;... 的和被定义为

: <math>\int_0^\infty e^{-t}\sum\frac{a_nt^{n\alpha}}{\Gamma(n\alpha+1)} \, dt,</math>

只要这个积分存在。更进一步的推广将被积函数替换为从小的&nbsp;''t''起的解析开拓。

==各类可和法==

===豪斯多夫变换===

{{harvtxt|Hardy|1949|loc=chapter 11}}.

===赫尔德可和法===

{{main article|赫尔德求和}}

===Hutton可和法===

Hutton于1812年，引入了一种发散级数的可和法，它从部分和序列出发，反复执行将序列&nbsp;''s''<sub>0</sub>,&nbsp;''s''<sub>1</sub>,&nbsp;...替换为平均序列{{sfrac|''s''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''s''<sub>1</sub>|2}}, {{sfrac|''s''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''s''<sub>2</sub>|2}},&nbsp;...的操作，再取其极限。

{{harv|Hardy|1949|loc=p. 21}}

===英厄姆可和法===

称级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;... 英厄姆可和到''s''，指的是

: <math>\lim_{x\rightarrow \infty} \sum_{1\le n\le x} a_n\frac{n}{x}\left[\frac{x}{n}\right] = s.</math>

英厄姆证明了如果取定''δ''为某个正数，则(C,−''δ'') (切萨罗)可和性可以推出英厄姆可和性，并且英厄姆可和性还能推出(C,''δ'')可和性。

{{harvtxt|Hardy|1949|loc=Appendix II}}

===朗伯可和法===

称级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;... 朗伯可和到''s''，指的是
:<math>\lim_{y\rightarrow 0^+} \sum_{n\ge 1} a_n\frac{nye^{-ny}}{1-e^{-ny}} = s. </math>

如果级数对某个''k''是(C,''k'') (切萨罗)可和的，则它也朗伯可和到相同的值。若级数是朗伯可和的，则它也阿贝尔可和到相同的值。

{{harvtxt|Hardy|1949|loc=Appendix II}}

===Le Roy可和法===

称级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;... Le Roy可和到''s''，指的是

: <math>\lim_{\zeta\rightarrow 1^-} \sum_{n} \frac{\Gamma(1+\zeta n)}{\Gamma(1+ n)} a_n = s. </math>
{{harvtxt|Hardy|1949|loc=4.11}}

===米塔-列夫勒可和法===
称级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;... 米塔-列夫勒(M)可和到''s''，指的是
:<math>\lim_{\delta\rightarrow 0} \sum_{n} \frac{a_n}{\Gamma(1+\delta n)} = s.</math>

{{harvtxt|Hardy|1949|loc=4.11}}

===拉马努金可和法===

{{main article|拉马努金求和}}
拉马努金可和法是拉马努金基于[[欧拉-麦克劳林求和公式]]给出的发散级数可和法。级数''f''(0) + ''f''(1) + ...的拉马努金和不仅依赖于''f''在整数上的取值，也依赖于''f''在其它非整数上的取值，所以它并不是在通常意义下的可和法。

如果指数[[母函数]]<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-nz}</math>的收敛区域非空，且它可以[[解析延拓]]为[[复平面]]上的[[亚纯函数]]，它的[[洛朗级数]]的零次[[系数]]就等于级数<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>的拉馬努金和<ref>Candelpergher, B., H. Gopalkrishna Gadiyar, and R. Padma, [http://arxiv.org/pdf/0901.3452v1.pdf] {{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/0901.3452v1.pdf |date=20181212143305 }}, ''Ramanujan summation and the exponential generating function <math>\begin{smallmatrix}{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}\zeta^{\prime}(-k)}\end{smallmatrix}</math>.'', The Ramanujan Journal,21, no. 1 (2010): pp. 99-122.</ref>。

例如，有以下级数的拉馬努金和：
:<math>1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12}(\Re).</math>
:<math>1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = -\frac{1}{2}(\Re).</math>
:<math>1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}(\Re).</math>

===黎曼可和法===

称级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;... (R,''k'')(或黎曼)可和到''s''，指的是

: <math>\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{n} a_n\left(\frac{\sin nh}{nh}\right)^k = s.</math>
{{harvtxt|Hardy|1949|loc=4.17}}
称级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;... R<sub>2</sub>可和到''s''，指的是

: <math>\lim_{h\rightarrow 0} \frac{2}{\pi}\sum_n \frac{\sin^2 nh}{n^2h}(a_1+\cdots + a_n) = s.</math>

===里斯可和法===

若''λ''<sub>''n''</sub>组成递增的实数列，并且

: <math>A_\lambda(x)=a_0+\cdots+a_n \text{ for } \lambda_n<x\le \lambda_{n+1}</math>

则将级数''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;...的里斯和(R,''λ'',''κ'')定义为

: <math>\lim_{\omega\rightarrow\infty} \frac{\kappa}{\omega^\kappa} \int_0^\omega A_\lambda(x)(\omega-x)^{\kappa-1} \, dx.</math>

===Vallée-Poussin可和法===
称级数''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;... VP(或Vallée-Poussin)可和到''s''，指的是

: <math>\lim_{m\rightarrow \infty} a_0+a_1\frac{m}{m+1}+a_2\frac{m(m-1)}{(m+1)(m+2)}+\cdots = s. </math>
{{harvtxt|Hardy|1949|loc=4.17}}.

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics|first1=G.A.|last1=Arteca|first2=F.M.|last2=Fernández|first3=E.A.|last3=Castro|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=1990}}.
* {{citation|title=Padé Approximants|first1=G. A.|last1=Baker, Jr.|first2=P. |last2=Graves-Morris|publisher=Cambridge University Press|year=1996}}.
* {{citation|title=Extrapolation Methods. Theory and Practice|first1=C.|last1=Brezinski|first2=M. Redivo|last2=Zaglia|publisher=North-Holland|year=1991}}.
* {{citation|title=Divergent Series|first=G. H.|last=Hardy|authorlink=G. H. Hardy|publication-place=Oxford|publisher=Clarendon Press|year=1949|url=https://archive.org/details/divergentseries033523mbp}}.
* {{citation|title=Large-Order Behaviour of Perturbation Theory|first1=J.-C.|last1=LeGuillou|first2=J.|last2=Zinn-Justin|publisher=North-Holland|publication-place=Amsterdam|year=1990}}.
* {{springer|id=l/l058990|title=Lindelöf summation method|first=I.I.|last=Volkov|year=2001}}.
* {{springer|id=a/a010170|title=Abel summation method|first=A.A.|last=Zakharov|year=2001}}.
* {{springer|title=Riesz summation method|id=p/r082300}}

== 引用==
<references/>

{{級數}}

[[Category:发散级数| ]]
[[Category:级数]]
[[Category:可和法]]
[[Category:渐近分析]]
[[Category:可和理论]]