查看“︁反餘弦”︁的源代码

{{expand|time=2012-12-09T02:24:03+00:00}}
{{函數
|name =反餘弦
|image =Arccos.svg

|heading1 =1
|parity =非奇非偶函数
|domain = [-1, 1]
|codomain = <math>[0 , \pi]</math><br/>（[0,180°]）
|period = N/A

|heading2 = 1
|zero = <math>\frac{\pi}{2}</math><br/>（90°）
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = <math>\pi</math><br/>（180°）
|min = <math>0</math>
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 1
|critical = 
|inflection = <math>\left( 0,\tfrac{\pi}{2}\right)</math><br/><math>\left( 0,90^\circ\right)</math>
|fixed = y軸為[[弧度]]時：<br/>
0.7390851332152...<br/>（42.3464588340929...°）<br/>
y軸為[[角度]]時：<br/>0.999847741531088...°<br/>（0.0174506351083467...）
|notes = k是一個[[整數]]。
}}
'''反餘弦'''（arccosine, <math>\arccos</math>, <math>\cos^{-1}</math>）是一種[[反三角函數]]，也是高等數學中的一種[[:Category:基本特殊函数|基本特殊函數]]。在[[三角學]]中，反餘弦被定義為一個角度，也就是[[餘弦]]值的[[反函數]]，然而餘弦函數是[[雙射]]且不可逆的而不是一個[[對射]][[函數]]（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有[[同界角]]），故無法有[[反函數]]，但我們可以[[限制 (數學)|限制]]其定義域，因此，反餘弦是[[單射]]和[[滿射]]也是[[反函數|可逆]]的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和[[反正弦]]定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將'''反餘弦'''函數的值域定義在<math>\left[0, \pi\right]</math>（[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間<math>[-1,1]</math>，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間<math>[-1,1]</math>，將傳回[[複數_(數學)|複數]]。

== 命名 ==
反餘弦的數學符號是<math>\arccos</math>，最常被記為<math>\cos^{-1}</math>。在不同的編程語言和有些[[計算器]]則使用acos或acs。

== 定義 ==
原始的定義是將[[餘弦函數]]限制在<math>[0 , \pi]</math>（[0,180°]）的[[反函數]]<br/>
在[[複變分析]]中，反餘弦是這樣[[定義]]的:
:<math>\arccos x = -{\mathrm{i}}\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>

這個動作使反餘弦被推廣到[[复数 (数学)|複數]]。
[[File:ArccosComplex.png|left|thumb|拓展到複數的反餘弦函數]]{{clear}}

== 性質 ==
'''反餘弦函數'''是一個定義在區間<math>\left[-1, 1\right]</math>的[[嚴格遞減]][[連續函數]]。<br/>
:<math>\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, \pi\right]</math>
:（<math>\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, 180^\circ\right]</math>）
其圖形是對稱的，即對稱於點<math>\left(0,\frac\pi 2\right)</math>，或表示為<math>\left(0,90^\circ\right)</math>，所以滿足<math>\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)=180^\circ-\arccos\left(-x\right)</math><br/>
反餘弦函數的[[導數]]是：<br/>
<math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>.<br/>
反餘弦函數的[[泰勒級數]]是：<br/>
:<math>
\begin{align}
\arccos x & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin x \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (x + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{x^7} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | x | \le 1 
\end{align}
</math>
基於上述級數在<math>| x |</math>接近1時收斂速度十分緩慢，在<math>x=-1</math>求得的泰勒級數是：<br/>
:<math>
\begin{align}
\arccos x & {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\left(1+\left( \frac {1} {4} \right) \frac {x+1} {3}+ \left( \frac {1 \cdot 3} {4 \cdot 8} \right) \frac {(x+1)^2} {5}+ \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {4 \cdot 8 \cdot 12 } \right) \frac{(x+1)^3} {7} + \cdots\right) \\
& {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{3n}(n!)^2} \right) \frac {(x+1)^n} {(2n+1)}
\end{align}
</math>
由於先前描述的對稱關係<math>\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)</math>，可由上式計算<math>| x |</math>接近1時的反餘弦值。<br/>

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:
:<math>
\arccos x_1+\arccos x_2=
\begin{cases}
\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2\ge0\\
2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2<0
\end{cases}
</math><br/>
:<math>
\arccos x_1-\arccos x_2=
\begin{cases}
-\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1\ge x_2\\
\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1<x_2
\end{cases}
</math>.

== 應用 ==
直角三角形的[[輻角]]為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

== 參見 ==
*[[餘弦]]
*[[反正弦]]

{{三角函數}}

[[Category:反三角函数]]

[[en:Inverse_trigonometric_functions#Inverse_trigonometric_functions]]