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'''反距离加权'''（{{Lang-en|inverse distance weighting}}，'''IDW'''）是一种在有已知的离散数据点的情形下进行{{Link-en|多元插值|Multivariate interpolation}}的[[确定性算法]]。赋给未知点的值是用已知点的值的[[加權平均數]]计算得出的。该算法也可在空间自相关分析（例如[[莫兰指数]]）中用于构建空间权重矩阵。<ref>{{Cite web |url=https://pro.arcgis.com/en/pro-app/latest/tool-reference/spatial-statistics/spatial-autocorrelation.htm |title=Spatial Autocorrelation (Global Moran's I) (Spatial Statistics) |publisher=ESRI |website=ArcGIS Pro Documentation |access-date=13 September 2022 |archive-date=2022-10-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221031101218/https://pro.arcgis.com/en/pro-app/latest/tool-reference/spatial-statistics/spatial-autocorrelation.htm |dead-url=no }}</ref>

该方法的名称来自其加权的方式：未知点到每个已知点的距离的倒数。

== 问题的定义 ==
对于给定的离散数据点，我们希望以一个函数<math>u</math>对研究区域进行插值：

: <math>u(x): x \to \mathbb{R}, \quad x \in \mathbf{D} \sub \mathbb{R}^n,</math>

其中<math>\mathbf{D}</math>是研究区域。

<math>N</math>个已知数据点可以视为[[多元组|元组]]列表：

: <math>[(x_1, u_1), (x_2, u_2), ..., (x_N, u_N)].</math>

该函数应当是“平滑的”（连续且一次可微），确定的（<math>u(x_i) = u_i</math>），并满足用户对研究的现象的直观预期。此外，该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现（如今，基本实现方法中可能会用到[[并行计算]]）。

== 谢泼德法（Shepard's method） ==

=== 历史参考 ===
自1965年起，在哈佛计算机图形和空间分析实验室，各专业的科学家汇聚一堂，重新思考现在称作“[[地理信息系统]]”的各种问题。<ref>{{Cite news|author=Chrisman|first=Nicholas|title=History of the Harvard Laboratory for Computer Graphics: a Poster Exhibit|url=http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic39008.files/History_LCG.pdf}}</ref>

实验室工作的推动者霍华德·费舍尔（Howard Fisher）构思了一种改良的计算机绘图程序：SYMAP，其设计伊始，费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展，而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德（Donald Shepard）决定对SYMAP中的插值法进行大改，随后发表了他1968年的著名论文。<ref name="shepardArticle">{{Cite conference |last=Shepard |first=Donald |year=1968 |title=A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data |pages=517–524 |doi=10.1145/800186.810616 |booktitle=Proceedings of the 1968 [[Association for Computing Machinery|ACM]] National Conference}}</ref>

谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验，决定更接近重力模型（-2的指数）。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权，还允许障碍（包括可渗透的和绝对的）插值。

其他研究机构此时也在研究插值，特别是[[堪萨斯大学]]及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的，尽管是由[[本科教育|本科生]]编写的。

=== 基本形式 ===
[[File:Shepard_interpolation_2.png|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Shepard_interpolation_2.png|center|thumb|640x640px|来自表面上的散点在不同幂参数''p''下的谢泼德插值<math>z=\exp(-x^2-y^2)</math>]]
给定一组样本点<math>\{ \mathbf{x}_i, u_i | \text{for } \mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^n, u_i \in \mathbb{R}\}_{i=1}^N</math>，反距离加权插值函数<math>u(\mathbf{x}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>定义为：

: <math>u(\mathbf{x}) = \begin{cases}
 \dfrac{\sum_{i = 1}^{N}{ w_i(\mathbf{x}) u_i } }{ \sum_{i = 1}^{N}{ w_i(\mathbf{x}) } }, & \text{if } d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i) \neq 0 \text{ for all } i, \\
 u_i, & \text{if } d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i) = 0 \text{ for some } i,
\end{cases} </math>

其中

: <math>w_i(\mathbf{x}) = \frac{1}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i)^p}</math>

这是一个简单的反距离加权函数，其定义由谢泼德提出，<ref name="shepardArticle"/>'''x'''表示一个被插值点（未知点），'''x'''<sub>''i''</sub>表示一个节点（已知点），<math>d</math>是从已知点'''x'''<sub>''i''</sub>到未知点'''x'''的给定距离（[[度量空间|度规]]算符），''N''是插值中使用的已知点的总数，并且<math>p</math>是一个正实数，称为幂参数。

其中，权重随着与已知点的距离的增加而减小。<math>p</math>值越大，则最邻近已知点的对插值的影响越大，当<math>p</math>足够大时，插值结果形似马赛克多边形（[[沃罗诺伊图]]），每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面，幂参数<math>p \leq 2</math>时，插值由距离较远的点主导，因为密度为<math>\rho</math>、邻近节点距离为<math>r_0</math>至<math>R</math>之间的数据点集，权重的加和约为

: <math>\sum_j w_j \approx \int_{r_0}^R \frac{2\pi r\rho \,dr}{r^p} = 2\pi\rho\int_{r_0}^R r^{1-p} \,dr,</math>

其在<math>R\rightarrow\infty</math>且<math>p\leq2</math>时发散。对于''M''维，同样的结论适用于<math>p\leq M</math>。对于<math>p</math>值的选择，可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布，以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。

谢泼德法是最小化与插值点{'''x''', ''u''}的元组和插值点{'''x'''<sub>''i''</sub>, ''u<sub>i</sub>''}的''i''[[多元组|元组]]之间的偏差度量相关的函数的结果，定义为：

: <math>\phi(\mathbf{x}, u) = \left( \sum_{i = 0}^{N}{\frac{(u-u_i)^2}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i)^p}} \right)^{\frac{1}{p}} ,</math>

从最小化条件导出：

: <math>\frac{\partial \phi(\mathbf{x}, u)}{\partial u} = 0.</math>

该方法容易扩展到其他[[維度|维]]数的空间，它实际上是将[[拉格朗日插值法]]推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms库中的算法661提供该算法。

=== 一维下的示例 ===
[[File:Shepard_interpolation_1_dimension.png|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Shepard_interpolation_1_dimension.png/640px-Shepard_interpolation_1_dimension.png|center|thumb|640x640px| Shepard法在一个维度下的插值，基于4个样本数据点，''p'' = 2]]

=== 调整谢泼德法 ===
谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径''R''范围内的最近邻（而不是完整样本）来计算插值。在这种情况下，权重略有修改：

: <math>w_k(\mathbf{x}) =  \left( \frac{\max(0,R-d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k))}{R d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k)} \right)^2.</math>

当与快速空间搜索结构（如[[k-d树]]）结合使用时，它即为适用于大尺度问题的高效''N'' log ''N''插值方法。

== 参见 ==
* [[距离衰减]]
* [[核密度估计]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:地理统计]]