查看“︁反正弦”︁的源代码

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{{函數
|name =反正弦
|image =Arcsin.svg

|heading1 =1
|parity =奇
|domain = [-1, 1]
|codomain = <math>\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]</math><br/>（{{math|[-90°,90°]}}）
|period = N/A

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = <math>\frac\pi 2</math><br/>（90°）
|min = <math>-\frac\pi 2</math><br/>（-90°）
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|inflection = [[原點]]
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}}
'''反正弦'''（arcsine，<math>\arcsin</math>，<math>\sin ^{-1}</math>）是一種[[反三角函數]]，也是高等數學中的一種[[:Category:基本特殊函数|基本特殊函數]]。在[[三角学|三角學]]中，反正弦被定義為一個角度，也就是[[正弦]]值的[[反函數]]。在[[实数|实数域]]<math>\mathbb R</math>内，正弦函數的值域为<math>\left[-1, 1\right]</math>，不是一個[[双射]][[函數]]，故在整个定义域上無法有单值的[[反函數]]；但若限定正弦函數的定義域在<math>\left[-\frac\pi 2 +k\pi, \frac\pi 2 +k\pi\right]</math>（<math>[180^\circ k-90^\circ, 180^\circ k+90^\circ]</math>）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定義域限制在區間<math>\left[-1, 1\right]</math>，值域限制在區間<math>\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]</math>（<math>[-90^\circ, 90^\circ]</math>）中；若利用[[自然對數|自然对数]]，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个[[复数 (数学)|复数集]]，但这样一来反正弦函数也将变成[[多值函数]]。

== 命名 ==
反正弦的符號是arcsin，也常常写作<math>\sin ^{-1}</math>。如此写法可以被接受的理由是，正弦函數的倒數是[[餘割|余割]]，有單獨的寫法，因此不易和<math>\sin ^{-1}</math>混淆。另外在某些[[電算器|計算機]]的按鍵或[[電腦]]的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

== 定義 ==
原始的[[定義]]是將[[正弦函數]]限制在<math>\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]</math>（<math>[-90^\circ, 90^\circ]</math>）的[[反函數]]，得到如下[[定義域]]和值域：
:<math>\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]</math>
:（<math>\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-90^\circ, 90^\circ\right]</math>）

利用[[自然對數]]可將定義推廣到整個[[复数 (数学)|複數集]]：
:<math>\arcsin x = -{\mathrm{i}}\ln \left({\mathrm{i}}x + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math>
[[File:ArcSinComplex.png|left|thumb|拓展到複數的反正弦函數]]
{{clear}}

== 運算 ==
反正弦函数的[[导数]]是：
:<math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:故实数域内，它在整个定义域上[[单调函数|单调递增]]。
:反正弦函数的[[泰勒级数]]是：

:<math>
\arcsin x=
\sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
=x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\cdots
</math>.

反正弦函数是[[奇函數與偶函數|奇函数]]，故：

<math>\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x</math>

另外，反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達：
:<math>
\arcsin x_1\pm\arcsin x_2=
\begin{cases}
X&
\pm x_1x_2\le0\lor x_1^2+x_2^2\le1\\
\pi-X&
x_1>0\land\pm x_2>0\land x_1^2+x_2^2>1\\
-\pi-X&
x_1<0\land\pm x_2<0\land x_1^2+x_2^2>1
\end{cases}
</math>
其中<math>X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right)</math>。

和差公式：

:<math>\arcsin(x \pm y)=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right) \pm  \arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)</math>

倍變數公式：

<math>\arcsin(2x)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)</math>

<math>\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)</math>

<math>\arcsin(kx)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2x^2}}{2}}\right)</math>（对0 ≤ kx ≤ 1）

:<math>
\arcsin(sinx)=
\begin{cases}
-(X+\pi)&
x\in[-\pi,-\frac{\pi}{2}]\\
X&
x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\
\pi-X&
x\in[\frac{\pi}{2},\pi]
\end{cases}
</math>

==參見==
*[[正弦]]
*[[反餘弦]]

{{三角函數}}

[[Category:数学定理]]
[[Category:反三角函数]]