查看“︁反正割”︁的源代码

{{函數
|name =反正割
|image =Arcsec.svg

|heading1 =1
|parity =非[[奇函数|奇]]非[[偶函数|偶]]
|domain = <math>\left\{x\in\mathbb{R}:\left| x \right| \ge 1\right\}</math><ref name="Weisstein_Eric">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/InverseSecant.html Inverse Secant]." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</ref>
|codomain = <math>\left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne\frac{\pi}{2}\right\}</math><br/><math>\left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne 90^\circ\right\}</math>
|period = N/A
|heading2 = 1
|zero = 不存在{{#tag:ref|由於反正割在x=0未定義，因此考慮複變反正割函數，<ref name="limit0">[http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28arcsec+x%2Cx-%3E0%29 反正割在x=0的極限] wolframalpha.com [2014-08-08]</ref>但由在x=0時於左極限不等於右極限，因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。|group=註|name=limit of zero}}
|plusinf = <math>\frac{\pi}{2}</math><br/>（90°）
|minusinf = <math>\frac{\pi}{2}</math><br/>（90°）
|vr1 =1
|f1 =0
|vr2 =-1
|f2 =<math>\pi</math><br/>（180°）
|heading3 = 1
|asymptote = <math>y=\frac{\pi}{2}</math><br/>（{{math|1=''y''=90°}}）
|root = 
}}
'''反正割'''（{{lang-en|'''arcsecant'''}}<ref>[http://terms.naer.edu.tw/detail/999043/ 反正割arcsecant-學術名詞資訊] {{Wayback|url=http://terms.naer.edu.tw/detail/999043/ |date=20140809080833 }} 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]</ref>、記為：<math>\arcsec</math>或<math>\sec^{-1}</math>）是一種[[反三角函數]]<ref>Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.</ref>，對應的三角函數為[[正割函數]]，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種[[:Category:基本特殊函数|基本特殊函數]]，其輸入值與[[反餘弦]]互為倒數。

由於正割函數在[[實數]]上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以[[限制 (數學)|限制]]其定義域，因此，反正割是[[單射]]也是[[反函數|可逆]]的，由於限制[[正割函數]]的定義域在<math>[0,\pi]</math>（[0, 180°]）时，其[[值域]]是全體實數，但在區間<math>[-1,1]</math>不存在。

==符號==
反正割一般記為<math>\sec^{-1}z</math><ref name="Zwillinger">Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995. </ref>或<math>\arcsec z</math><ref name="Abramowitz_and_Stegun">Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0486612724/ref=nosim/weisstein-20 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing] {{Wayback|url=http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0486612724/ref=nosim/weisstein-20 |date=20211122123500 }}. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.</ref><ref name="Harris_and_Stocker">Harris, J. W. and Stocker, H. [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387947469/ref=nosim/weisstein-20 Handbook of Mathematics and Computational Science] {{Wayback|url=http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387947469/ref=nosim/weisstein-20 |date=20220120170222 }}. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.</ref><ref name="Jeffrey">Jeffrey, A. [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0123822513/ref=nosim/weisstein-20 Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed]. Orlando, FL: Academic Press, 2000.</ref><ref>《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, ''Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie'', Encyclopædia Universalis.</ref>，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z<ref name="Beyer">Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987. </ref>和Sec<sup>-1</sup> z一般用於表示多值函數<ref name="Abramowitz_and_Stegun"/>。在符號<math>\sec^{-1}z</math>上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據[[ISO 31]]-11應將反正切函數記為<math>\arcsec z</math>，因為<math>\sec^{-1}</math>可能會與<math>\frac{1}{\sec}</math>混淆，<math>\frac{1}{\sec}</math>是[[餘弦函數]]。

== 定義 ==
原始的定義是將[[正割函數]]限制在<math>[0 , \pi]</math>（[0, 180°]）的[[反函數]]<br/>
在[[複變分析]]中，反正割是這樣[[定義]]的：
:<math>\arcsec x = -{\mathrm{i}}\ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{\mathrm{i}}{x^2}}\right) \,</math>
這個動作使反正割被推廣到[[复数 (数学)|複數]]。

下圖表示推廣到[[复数 (数学)|複數]]的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。
[[File:Complex_ArcSec.jpg|left|thumb|拓展到複數的反正割函數]]{{clear}}
===直角三角形中===
在[[直角三角形]]中，'''反正割'''定義為已知斜邊c與鄰邊b[[比值]]對應的<math>\angle A</math>的大小，也就是：
:<math> \sec^{-1} \frac {\mathrm{Hypotenuse}}{\mathrm{Adjacent}} = \theta\,\!</math>
<gallery>
image:Rtriangle.svg|直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
image:Trigonometric functions and inverse6.svg|直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長
</gallery>
此外在[[直角三角形]]中，若已知斜邊為<math>x</math>且鄰邊為單位長，<math>x</math>代入反正割可求得對應的角的大小：

:<math>\sec^{-1} x= \arcsec x = \theta\,\!</math>
因此，根據畢氏定理可以使'''反正割'''利用其他[[反三角函數]]表示：
:<math>\sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
:<math>\cos (\arcsec x) = \frac{1}{x}</math>
:<math>\tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1}</math>

===直角坐標系中===
若<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一個未知的[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的[[距离]]，若已知<math>\frac{r}{x}\,\!</math>，則可利用反正割求得未知的[[象限角]]<math>\alpha</math>：

:<math>\sec^{-1} \frac{r}{x} =\arcsec \frac{r}{x} = \alpha\,\!</math>

===級數定義===
反正割函數可以使用[[無窮級數]]定義：
:<math>
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - [z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}
</math>
反正割函數的泰勒展開式為：
:<math>
\arcsec x=
\frac\pi2-\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{-2n-1}=
\frac\pi2-\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}-\frac{3}{40x^5}-\frac{5}{112x^7}-\cdots
</math>

== 參見 ==
{{Wiktionary|反正割}}
{{Commons category|Arc secant function}}
* [[反餘弦]]
* [[正割]]
* [[餘弦]]

== 註釋 ==
<references group="註"/>

== 參考文獻 ==
<div class="references-small" style="font-size: 90%;" style="-moz-column-count:2; column-count:2};"><references/>
{{refend}}
== 外部連結 ==
{{Portal|数学}}
* {{MathWorld |urlname = InverseSecant |title = Inverse Secant}}
* {{MathWorld |urlname = Arcsecant |title = Arcsecant}}

{{三角函數}}

[[Category:反三角函数]]