查看“︁反正切”︁的源代码

{{NoteTA 
| G1 = Math
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{{函數
|name =反正切
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|heading1 =1
|parity =[[奇函数]]
|domain = [[實數]][[集合 (数学)|集]]
|codomain = <math>(-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2})</math><br/>(-90°,90°)
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'''反正切'''（{{lang-en|arctangent}}，记为<math>\arctan</math>、'''arctg'''或<math>\tan^{-1}</math>）<ref>Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From  MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html InverseCotangent] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html |date=20140803055124 }}</ref>是一種[[反三角函數]]，是利用已知直角[[三角形]]的對邊和鄰邊这两条直角边的[[比例|比值]]求出其夹角大小的函數，是高等數學中的一種[[:Category:基本特殊函数|基本特殊函數]]。在[[三角學]]中，反正切被定義為一個[[角度]]，也就是[[正切]]值的[[反函數]]，由於正切函數在[[實數]]上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正切是[[單射]]和[[滿射]]也是[[反函數|可逆]]的，但不同於[[反正弦]]和[[反餘弦]]，由於限制[[正切函數]]的定義域在<math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>（(-90°,90°)）时，其[[值域]]是全體實數，因此可得到的反函數定義域也是全體實數，而不必再進一步去限制定義域。

由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值，剛好可以視為[[直角坐標系]]的x座標與y座標，根據[[斜率]]的定義，反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與[[座標軸]]的[[夾角]]。

反正切函數經常記為<math>\tan^{-1}</math>，在外文文獻中常記為<math>\arctan</math><ref>《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, ''Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie'', Encyclopædia Universalis.</ref>，在一些舊的教科書中也有人記為arctg，但那是舊的用法，不過根據[[ISO 31]]-11標準應將反正切函數記為<math>\arctan</math>，因為<math>\tan^{-1}</math>可能會與<math>\frac{1}{\tan}</math>混淆，<math>\frac{1}{\tan}</math>是[[餘切函數]]。

== 定義 ==
原始的定義是將[[正切函數]]限制在<math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>（(-90°,90°)）的[[反函數]]<br/>
在[[複變分析]]中，反正切是這樣[[定義]]的：
:<math>\arctan x = \frac{\mathrm{i}}{2}\ln \left(\frac{{\mathrm{i}}+ x}{{\mathrm{i}}- x}\right)\,</math>

這個動作使反正切被推廣到[[复数 (数学)|複數]]。
[[File:Complex arctan.jpg|left|thumb|拓展到複數的反正切函數]]{{clear}}

===直角坐标系中===
在[[直角坐標系]]中，反正切函數可以視為已知[[平面 (数学)|平面]]上[[直線]][[斜率]]的傾角

===级数定义===
反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義
反正切函數的泰勒展開式為：
:<math>\forall x\in [-1,1]\quad\mathrm{arctan} (x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots</math>
當<math>\left| x \right| \le 1</math>且<math>x\neq\pm i</math>時，這是一個收斂的級數，這使得反正切函數被定義在整個實數集上。這個級數也可以用來計算[[圓周率]]的近似值，最簡單的公式是<math>x=1</math>時的情況，稱為[[π的莱布尼茨公式|莱布尼茨公式]]<ref>Connue des anglophones sous le nom de "formule de [[詹姆斯·格雷果里]]" ; cette formule avait en fait été déjà découverte par{{link-en|Madhava of Sangamagrama|Madhava of Sangamagrama}} au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pourplus de détails </ref>
: <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots</math>
更精確的寫法是[[梅欽類公式]]
: <math>\frac\pi4=4\mathrm{arctan}\frac15-\mathrm{arctan}\frac1{239}</math>

== 性質 ==
由於反正切函數是一個[[奇函數]]，因此滿足下面等式：
:<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
反正切函數的微分導數為：
:<math>{\rm arctan}'x=\frac{1}{1+x^2}</math>
:<math>{\rm arctan}''x=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}</math>
:<math>{\rm arctan}'''x=\frac{\; 6x^2-2 \;}{\left(1+x^2\right)^3\,}</math>
:<math>{\rm arctan}''''x=\frac{ \; -24x^3+24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}</math>
:<math>\cdots \qquad.</math>

== 恆等式 ==
=== 和差 ===
:<math>\arctan\,x \pm \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, xy < 1</math>（+）、<math>xy > -1</math>（－）
:<math>\arctan\,x \pm \arctan\,y =\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x > 0, xy > 1</math>（+）、<math>x > 0, xy < -1</math>（－）
:<math>\arctan\,x \pm \arctan\,y =-\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x < 0, xy > 1</math>（+）、<math>x < 0, xy < -1</math>（－）

== Atan2 ==
{{Main|Atan2}}
在[[反三角函数|反三角函數]]中，atan2是反正切函數的一個變種，有兩個變數，主要是提供給計算機编程語言一個簡便的角度計算方式，其定義為：
:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}</math>

== 參考文獻 ==
{{Reflist|2}}
* {{MathWorld |urlname = InverseTangent |title = Inverse Tangent}}
* {{MathWorld |urlname = Machin-LikeFormulas |title = Machin-Like Formulas}}

== 參見 ==
* [[正切]]
* [[餘切]]

{{-}}
{{三角函數}}

[[Category:反三角函数]]