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在[[线性代数]]中，一个'''反幺正算符'''是复[[希尔伯特空间]]上的反[[双线性]]映射，
:<math>\Omega : H \rightarrow H</math>
对任意<math>\Psi , \Phi \in H</math>，满足，
:<math>\langle \Omega \Psi | \Omega \Phi \rangle = \langle \Phi | \Psi \rangle </math>
反幺正算符常在量子理论中被用于表示某些对称性，例如时间反转。<ref>{{Cite book|last=Peskin|first=Michael Edward|url=https://www.worldcat.org/oclc/1101381398|title=An introduction to quantum field theory|date=2019|others=Daniel V. Schroeder|isbn=978-0-201-50397-5|location=Boca Raton|oclc=1101381398}}</ref> [[维格纳定理]]进一步证明了它们在量子物理学中的根本重要性。

== 复共轭算符 ==
复共轭算符<math>K</math>是[[复平面]]上的反幺正算符，满足<math>Kz=z^*</math>，<math>zK^*=z^*</math>。这意味着<math>K^2=K^{* 2}=1</math>。

可以认为，<math>K^* I</math>是对偶矢量空间中的算符。<ref>{{Cite book|last=喀兴林|url=https://www5.zzu.edu.cn/particle/info/1036/1058.htm|title=高等量子力学 (第二版)|date=2009|isbn=978-7-04-009925-6|location=北京|page=275-276}}</ref>

对于复[[希尔伯特空间]]上的一组[[正交基]]，
:<math>\langle m | K^* I K | n \rangle = \langle (I K) m | (I K) n \rangle = \delta_{m n} </math>
可以证明在[[基底]]的[[幺正变换]]和反幺正变换下，这一等式不变。

== 反幺正算符 ==
对于一个反幺正算符<math>\Omega</math>，<math>U = \Omega K</math>是一个[[幺正算符]]；对[[幺正算符]]<math>U</math>，<math>\Omega = U K</math>是一个反幺正算符。

=== 厄密共轭 ===
定义幺正算符<math>\Omega = U K</math>的厄密共轭为<math>\Omega^\dagger = K^* U^\dagger </math>，这意味着，
:<math>\langle m | \Omega^\dagger n \rangle = \langle n | \Omega m \rangle^* </math>
所以，对任意<math>\Psi , \Phi \in H</math>，
:<math> \begin{aligned}
\langle \Omega \Psi | \Phi \rangle &= \langle \Phi | \Omega \Psi \rangle^{*}\\
 & =\Bigl(\sum _{m,n}\langle m | B_{m}^{*} UK A_{n} | n \rangle\Bigr)^{*}\\
 & =\Bigl(\sum _{m,n}\langle m | B_{m}^{*} UA_{n}^{*} K | n \rangle\Bigr)^{*}\\
 & =\sum _{m,n}\langle n | K^{*} A_{n} U^{\dagger } B_{m} | m \rangle = \langle \Psi | K^{*} U^{\dagger } \Phi \rangle = \langle \Psi | \Omega ^{\dagger } \Phi \rangle
\end{aligned} </math>

根据定义，有<math>\Omega^\dagger \Omega = K^* I K</math>，这意味着，
:<math>\begin{aligned}
\langle \Omega \Psi | \Omega \Phi \rangle & =\sum _{m,n}\langle m | A_{m}^{*} K^{*} IKB_{n} | n \rangle\\
 & =\sum _{m,n} A_{m} B_{n}^{*}\left(\langle m | K^{*} IK | n \rangle\right)\\
 & =\langle \Phi | \Psi \rangle
\end{aligned}</math>
与反幺正算符的定义式相符。

=== 基矢变换 ===
幺正算符的定义前后自洽的重要前提是对于对于复[[希尔伯特空间]]上的任意一组[[正交基]]，恒等式<math>\langle m | K^* I K | n \rangle = \delta_{m n} </math>都成立。这需要从两个角度证明。

==== 基矢做幺正变换 ====
对基底<math>\{ | n \rangle \}</math>做幺正变换<math>| n' \rangle = {\textstyle \sum}_m U_{nm} | m \rangle </math>，得到一组新的基底<math>\{ | n' \rangle \}</math>，
:<math>\begin{aligned}
\langle m' | K^{*} IK | n' \rangle & =\sum _{m,n}\langle m | U_{m'm}^{*} K^{*} IKU_{n'n} | n \rangle\\
 & =\sum _{m,n} U_{m'm} U^{*}{}_{n'n}\left(\langle m | K^{*} IK | n \rangle\right)\\
 & =\sum _{m,n} U_{m'm} U^{*}{}_{n'n} \delta _{mn}\\
 & =\delta _{m'n'}
\end{aligned}</math>
可见<math>\langle m' | K^{*} IK | n' \rangle =\delta _{m'n'}</math>依然成立。

==== 基矢做反幺正变换 ====
由于已经证明了基底在[[幺正变换]]下仍然满足上述等式，且反幺正算符可以分解为[[幺正算符]]右乘复共轭算符<math>K</math>，只需要说明基底在复共轭算符<math>K</math>作用下依然满足上述等式，该陈述显然是正确的，因为，
:<math>\langle m' | K^{*} I K | n' \rangle = \langle m | I | n \rangle = \delta _{mn}</math>

==参见==
*[[共軛轉置]]
*[[厄米矩陣]]
*[[矩陣分解]]
*[[么正群]]
*[[么正算符]]
*[[辛矩阵]]

== 參考資料 ==
{{Reflist|1}}


[[Category:線性代數]]
[[Category:泛函分析]]