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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:反常;zh-hant:瑕;}}
{{otheruses|subject=无穷限或无界的积分|other =“廣義黎曼積分”（也簡稱“廣義積分”）|Henstock–Kurzweil积分}}
{{微積分學}}

'''廣義積分'''，又称为'''反常积分'''、'''异常积分'''（{{lang-en|Improper integral}} ），是对[[黎曼积分|普通定积分]]的[[廣義化|推廣]]。

广义积分可以分成兩類，第一類又稱為'''無窮積分'''，指積分區間的上限或下限為[[無窮]]的積分。第二類稱為'''瑕積分'''，指被積函數在積分區間中含有[[不連續點]]的積分。

==第一類反常積分==

[[File:Improperintegral2.png|thumb|第一類反常積分：上限或下限為無限的積分。]]

===定義===

第一類反常積分是'''無窮積分'''，指積分區間的上限或下限中含有[[無窮]] ∞ 的积分。數學定義如下：

设函数 <math>f(x)</math> 在 <math>[a,+\infty)</math> 上連續且可積。定義無窮積分：
:<math>\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{u\to +\infty} \int_a^u f(x)\,dx</math>。

类似的，设函数 <math>f(x)</math> 在 <math>(-\infty,a]</math> 上連續且可積。定義無窮積分：
:<math>\int_{-\infty}^a f(x)\, dx=\lim_{u\to -\infty} \int_u^a f(x)\,dx</math>。

当上述[[极限]]存在时，称該积分[[收敛]]。当上述极限不存在时，称该积分[[发散]]。

例子如下：

:<math>\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u\frac{1}{x^2}\,dx = 1 </math>；
:<math>\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u\frac{1}{x}\,dx = +\infty </math>，即發散；
:<math>\int_1^\infty x \sin x\,dx=\lim_{u\to+\infty} \int_1^u x \sin x \,dx </math> ，振動發散。

===推廣定義===

第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

设函数 <math>f(x)</math> 在 <math>(-\infty,+\infty)</math> 上連續且可積。定義無窮積分：

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \lim_{v\to+\infty} \int_u^vf(x)\,dx</math>。

或者取區間上任意一點 <math>c</math>  ，分拆寫成：

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to+\infty}  \int_c^vf(x)\,dx </math>。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

:<math>\int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2} \,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^0 x e^{-x^2}\,dx + \lim_{v\to+\infty}  \int_0^v x e^{-x^2}\,dx= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>；
:<math>\int_{-\infty}^\infty x \,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^0 x \,dx + \lim_{v\to+\infty}  \int_0^v x\,dx= -\infty + \infty</math>，即發散。

===與柯西主值的聯繫===

在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在[[柯西主值]]的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

设函数 <math>f(x)</math> 在 <math>(-\infty,+\infty)</math> 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值：

: <math> \mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^Rf(x)\,dx</math>。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

:<math> \mathrm{PV}\int_{-\infty}^\infty x \,dx = \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R x \,dx = 0</math>。

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

==第二類反常積分==

[[File:Improperintegral1.svg|thumb|第二類反常積分：被積函數的區間中含有不連續點。]]

===定義===

第二類反常積分是'''瑕積分'''，指積分區間的上限或下限是被積函數的[[不連續點]]。數學定義如下：

設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>(a,b]</math> 上連續且可積，但在點 <math>a</math> 不連續。定義瑕積分：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^bf(x)\,dx</math>。

類似的，設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>[a,b)</math> 上連續且可積，但在點 <math>b</math> 不連續。定義瑕積分：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to b^-} \int_a^uf(x)\,dx</math>。

當上述[[極限]]存在時，稱該積分[[收斂]]。當上述極限不存在時，稱該積分[[發散]]。

例子如下：

:<math>\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}} \,dx = \lim_{u\to 3^-} \int_0^u \frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx=2\sqrt{3}</math>；

:<math>\int_0^1 \frac{1}{x^2} \,dx = \lim_{u\to 0^+} \int_u^1 \frac{1}{x^2}\,dx=+\infty</math>，即發散。

===推廣定義===

第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>(a,b)</math> 上連續且可積，但在點 <math>a</math> 及 <math>b</math> 不連續。定義瑕積分：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \lim_{v\to b^-} \int_u^vf(x)\,dx</math>。

或者取區間上任意一點 <math>c</math> ，分拆寫成：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to a^+} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\to b^-}  \int_c^vf(x)\,dx </math>。

設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>[a,c)</math> 及 <math>(c,b]</math>上連續且可積，但在點 <math>c</math> 不連續。定義瑕積分：

:<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{u\to c^-} \int_a^uf(x)\,dx + \lim_{v\to c^+}  \int_v^bf(x)\,dx </math>。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

:<math>\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx = \lim_{u \to 0^-} \int_{-1}^u \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx   + \lim_{v \to 0^+} \int_{v}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx = 6</math>；
:<math>\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \,dx = \lim_{u \to 0^-} \int_{-1}^u \frac{1}{x} \,dx   + \lim_{v \to 0^+} \int_{v}^{1} \frac{1}{x} \,dx = -\infty +\infty </math>，即發散。

===與柯西主值的聯繫===

在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在[[柯西主值]]的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>(a,b)</math> 上連續且可積，但在點 <math>a</math> 及 <math>b</math> 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

: <math> \mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) \,dx</math>；

設函數 <math>f(x)</math> 在 <math>[a,c)</math> 及 <math>(c,b]</math>上連續且可積，但在點 <math>c</math> 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

: <math> \mathrm{PV}\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left[\int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,dx\right]</math>

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

:<math> \mathrm{PV}\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon} \frac{1}{x} \,dx = 0</math>。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

==参考文献==

* 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
* Weisstein, Eric W. ''Improper Integral.'' From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html |date=20190603042408 }}
* Weisstein, Eric W. ''Cauchy Principal Value.'' From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html |date=20190113232235 }}

==参见==

* [[积分]] 
* [[極限]]
* [[柯西主值]]

[[Category:积分学]]