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[[数学]]和[[理论物理学]]中，若一[[张量]]的[[性质符号|符号]]（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量'''在指标子集上是反对称的'''（或'''相对于指标子集反对称'''）。<ref>{{cite book|author1=K.F. Riley |author2=M.P. Hobson |author3=S.J. Bence | title=Mathematical methods for physics and engineering|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile |url-access=registration | publisher=Cambridge University Press| year=2010 | isbn=978-0-521-86153-3}}</ref><ref>{{cite book|author1=Juan Ramón Ruíz-Tolosa |author2=Enrique Castillo | title=From Vectors to Tensors | publisher=Springer| year=2005| isbn=978-3-540-22887-5 |url=https://books.google.com/books?id=vgGQUrQMzwYC&pg=PA225 |page=225}} section §7.</ref>指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如，
<math display=block>T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} = T_{jki\dots} = -T_{kji\dots} = T_{kij\dots} = -T_{ikj\dots}</math>
当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是'''全反对称'''的。''k''[[張量#張量阶|阶]]全反对称协变[[张量场]]可称作[[微分形式|微分''k''-形式]]，全反对称反变向量场可称作[[多重向量|''k''-向量]]场。

==反对称张量与对称张量==
对指标''i''、''j''反对称的张量'''A'''与对指标''i''、''j''对称的张量'''B'''的[[张量缩并|缩并]]都是0。

对于包含<math>U_{ijk\dots}</math>的一般张量'''U'''和一对指标''i''、''j''，'''U'''可分为对称部分和反对称部分：

:{|
|-
| <math>U_{(ij)k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})</math> ||&nbsp;|| （对称部分）
|-
| <math>U_{[ij]k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})</math> ||&nbsp;|| （反对称部分）
|}
 
其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的，对给定的一对指标，张量是其对称部分和反对称部分之和，例如
<math display=block>U_{ijk\dots} = U_{(ij)k\dots} + U_{[ij]k\dots}.</math>

==符号==
反对称可用方括号表示。例如，对任意维的2阶协变张量'''M'''，
<math display=block>M_{[ab]} = \frac{1}{2!}(M_{ab} - M_{ba}),</math>
对3阶协变张量'''T'''，
<math display=block>T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).</math>

在任意2维和3维中，都可以写成
<math display=block>\begin{align}
   M_{[ab]} &= \frac{1}{2!} \, \delta_{ab}^{cd} M_{cd} , \\[2pt]
  T_{[abc]} &= \frac{1}{3!} \, \delta_{abc}^{def} T_{def} .
\end{align}</math>
其中<math>\delta_{ab\dots}^{cd\dots}</math>是广义[[克罗内克δ函数]]，我们使用[[爱因斯坦求和约定]]对同类指标求和。

更一般地说，无论维数多少，''p''个指标上的反对称都可表为
<math display=block>T_{[a_1 \dots a_p]} = \frac{1}{p!} \delta_{a_1 \dots a_p}^{b_1 \dots b_p} T_{b_1 \dots b_p}.</math>

一般说来每个[[秩 (线性代数)|秩]]为2的张量都能分解为一对对称张量和一对反对称张量，如
<math display=block>T_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji}).</math>

对秩大于等于3的张量，这种分解一般并不正确，因为它们具有更复杂的对称性。

==例子==
全反对称张量包括：

* 平凡地，所有标量与向量（阶为0、1的张量）是全反对称的（也是全对称的）。
* [[电磁学]]中的[[电磁张量]]<math>F_{\mu\nu}</math>。
* [[伪黎曼流形]]上的黎曼[[体积形式]]。

== 另见 ==
* [[反对称矩阵]]
* [[外代数]]
* [[列维-奇维塔符号]]

* [[里奇微积分]]

* [[对称张量]]
* [[对称化]]

==注释==
{{reflist}}
{{reflist|group=note}}

==参考文献==
* {{cite book|last=Penrose|first=Roger|author-link=Roger Penrose|title=[[The Road to Reality]]|publisher=Vintage books|year=2007|isbn=978-0-679-77631-4}}
* {{cite book|author1=J.A. Wheeler|author2=C. Misner|author3=K.S. Thorne|title=[[Gravitation (book)|Gravitation]]| publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|pages=85–86, §3.5|isbn=0-7167-0344-0}}

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/AntisymmetricTensor.html Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/AntisymmetricTensor.html |date=20231204062803 }}

{{张量}}
[[Category:张量]]