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[[数值分析]]与[[科学计算]]中，'''反向欧拉法'''或'''隐式欧拉法'''是求解[[常微分方程]]最基本的[[常微分方程#数值方法|数值方法]]之一。其类似于（标准）[[欧拉法]]，不过是一种[[隱式方法]]。反向欧拉法的时间误差为一阶。

== 描述 ==
考虑[[常微分方程]] 

:<math> \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) </math> 
有初值<math> y(t_0) = y_0. </math>此处函数<math>f</math>与初值数据<math>t_0</math>、<math>y_0</math>均未知；函数<math>y</math>取决于实变量<math>t</math>，同样未知。数值方法产生一个序列<math> y_0, y_1, y_2, \ldots </math>，使<math> y_k </math>近似于<math> y(t_0+kh) </math>，其中<math> h </math>称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是
:<math> y_{k+1} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}). </math> <ref name="未命名-20240110220741">{{harvnb|Butcher|2003}}</ref>{{rp|57}}
异于（正向）欧拉法，后者用的是<math> f(t_k, y_k) </math>而非<math>f(t_{k+1}, y_{k+1})</math>。

反向欧拉法是一种隐式方法：新近似值<math> y_{k+1} </math>在方程两侧都出现，因此该方法要求解未知<math> y_{k+1} </math>的代数方程。对非[[刚性方程|刚性]]问题，这可采用[[定点迭代]]法：
:<math> y_{k+1}^{[0]} = y_k, \quad y_{k+1}^{[i+1]} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}^{[i]}). </math>
若序列收敛（在给定精度内），则该方法会将其极限作为新的近似
<math> y_{k+1} </math>。<ref name="未命名-20240110220741"/>{{rp|57}}

或者，也可以使用[[牛顿法|牛顿–拉斐森法]]求解代数方程。

== 推导 ==
将微分方程<math> \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) </math>自<math> t_n </math>积分到<math> t_{n+1} = t_n + h </math>，有
: <math> y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \,\mathrm{d}t. </math>
现在用右手[[黎曼和|矩形法]]近似计算右式的积分：
: <math> y(t_{n+1}) - y(t_n) \approx h f(t_{n+1}, y(t_{n+1})). </math>
最后，用<math> y_n </math>应近似于<math> y(t_n) </math>的性质，就得到了反向欧拉法公式。<ref name="未命名-20240110220741"/>{{rp|57}}

若用左手矩形法，同样的推导会得到（标准）欧拉法。

== 分析 ==
[[File:Stability region for BDF1.svg|thumb|圆盘外的粉色区域是反向欧拉法的稳域。]]
用[[大O符号]]表示反向欧拉法的局部[[截断误差]]（LTE）（定义为迭代一步产生的误差）为<math> O(h^2) </math>。特定时刻<math> t </math>的误差为<math> O(h^2) </math>，这是说该方法的阶数为1。一般来说，具有<math> O(h^{k+1}) </math>LTE的方法定义为k阶。

反向欧拉法的绝对稳域是以1为圆心，半径为1的圆盘在平面内的补集，如图所示。<ref name="未命名-20240110220741"/>{{rp|70}}这包括整个复平面的左半部，使其适于求解[[刚性方程]]。<ref name="未命名-20240110220741"/>{{rp|71}}事实上，反向欧拉法甚至是[[L-稳定]]的。

利用反向欧拉法求解离散'''稳定'''系统的区域是半径为0.5的圆，位于z平面的(0.5, 0)处。<ref>Wai-Kai Chen, Ed., Analog and VLSI Circuits The Circuits and Filters Handbook, 3rd ed. Chicago, USA: CRC Press, 2009.</ref>

== 推广与改进 ==
反向欧拉法是（前向）[[欧拉法]]的一种变体。其他变体还有[[半隐式欧拉法]]和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的[[龙格-库塔法]]，可用Butcher表描述：
:<math>
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>

该方法也可看作是1步的[[线性多步法]]，是Adams–Moulton法族中的第一个方法，也是[[后向微分法]]的第一个方法。

==另见==
*[[克兰克-尼科尔森方法]]

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Butcher | first1=John C. | author1-link=John C. Butcher | title=Numerical Methods for Ordinary Differential Equations | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-96758-3 | year=2003}}.

{{常微分方程数值方法}}

[[Category:数值微分方程]]