查看“︁反函數”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Inverse Function.png|thumb|函数ƒ和它的反函数ƒ<sup>–1</sup>。由于ƒ把''a''[[映射]]到3，因此反函数ƒ<sup>–1</sup>把3映射回到''a''。]]
在[[數學]]裡，'''反函數'''，也称为'''逆函数'''（{{lang-en|Inverse function}}），為對一個定函數做逆運算的[[函數]]。

== 定义与存在性 ==
設<math>f</math>為一函數，其[[定义域|定義域]]為<math>X</math>，[[陪域]]為<math>Y</math>。如果存在一函數<math>g</math>，其定義域和陪域分別為<math>Y,\, X</math>，並對任意<math>x \in X</math>有
<math>g(f(x))=x</math>、對任意<math>y \in Y</math>有<math>f(g(y))=y</math>，則稱<math>g</math>為<math>f</math>的反函數，記之為<math>f^{-1}</math>。{{notetag|此种写法易与一个数的<math>-1</math>次[[冪]]混淆，尤其在[[三角函数]]中，<math>\sin^{2}(x)</math>表示<math>\sin(x)</math>的[[平方]]，但<math>\sin^{-1}(x)</math>表示[[反正弦]]在<math>x</math>处的值，而非<math>\frac {1} {\sin(x)}</math>。}}

若一函數有反函數，便稱此函數'''可逆'''。一函數可逆的[[充分必要条件]]是该函数为[[双射]]，即同时为[[单射]]和[[满射]]。<ref>{{cite book |last=Smith |first=Geoff |year=1998 |title=Introductory Mathematics: Algebra and Analysis |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4471-0619-7 |location=London |publisher=Springer-Verlag |page=30 |isbn=978-1-4471-0619-7 |access-date=2023-12-29 |archive-date=2023-12-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231229230212/https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4471-0619-7 |dead-url=no }}</ref>

若<math>f</math>為一[[实函数]]，还可通過[[水平線測試]]判断其是否为单射、满射或双射。

== 与限制的关系 == 

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的[[限制 (數學)|限制]]是可逆的。<ref>{{cite encyclopedia |title=inverse function |encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics |year=2014 |last1=Clapham |first1=Christopher |last2=Nicholson |first2=James |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-175902-4 |url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591-e-1523}}</ref>例如
:<math>f: \mathbb{R} \to [0,\infty),\, f(x)=x^2</math>
<math>f</math>并不是单射，因<math>f(1)</math>和<math>f(-1)</math>均为<math>1</math>。但若取其到<math>[0,\infty)</math>上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数
:<math>{f _{|_{[0, - \infty)}}}^{- 1} (x) = \sqrt{x}.</math>

[[反三角函数]]是限制定义域的另一个例子。[[正弦]]、[[余弦]]等[[三角函数]]具有[[周期函数|周期性]]，如
: <math>\sin(x + 2\pi) = \sin(x),</math>
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如[[反正弦函数]]通常定义为正弦函数到<math>\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]</math>上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的[[值域]]，称作其{{le|主值|Principal value}}。

== 性質 ==
*原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
*原函数与其反函数的函数图像关于函数<math>y=x</math>的图像对称。
*严格[[单调函数]]一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
*拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如<math>y=x^{-3}</math>

==注释==
{{notefoot}}

== 参考资料 ==
{{reflist}}

== 另見 ==
* [[值域]]
* [[逆關係]]
* [[反函数定理]]

[[Category:集合論基本概念]]
[[Category:反函数| ]]
[[Category:一元运算]]
[[Category:負一]]