查看“︁反三角函数”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{函數圖形
|start=-1|end=1|sampling=200|width=200|height=400
|asin(x)|acos(x)|atan(x)|acot(x)
|title=反三角函數示意圖
|caption=幾個反三角函數的圖形，其中，反餘切以複變分析定義，因此在原點處出現不連續斷點}}
{{三角学}}
在[[数学]]中，'''反三角函数'''（{{lang-en|inverse trigonometric function}}）是[[三角函数]]的[[反函数]]。

==數學符號==
符号<math>\sin^{-1}, \cos^{-1}</math>等常用于<math>\arcsin, \arccos</math>等。但是这种符号有时在<math>\sin^{-1} x</math>和<math>\frac{1}{\sin x}</math>之间易造成混淆。

在编程中，函数<math>\arcsin</math>, <math>\arccos</math>, <math>\arctan</math>通常叫做<math>\mathrm{asin}</math>, <math>\mathrm{acos}</math>, <math>\mathrm{atan}</math>。很多编程语言提供两自变量[[atan2]]函数，它计算给定<math>y</math>和<math>x</math>的<math>\frac{y}{x}</math>的反正切，但是值域为<math>[-\pi, \pi]</math>。

<gallery>
File:Asin acos plot.svg|在笛卡尔平面上<math>f(x)=\arcsin x</math>(紅)和<math>f(x)=\arccos x</math>(綠)函数的常用主值的图像。
File:Atan acot plot.svg|在笛卡尔平面上<math>f(x)=\arctan x</math>(紅)和<math>f(x)=\arccot x</math>(綠)函数的常用主值的图像。
File:Asec acsc plot.svg|在笛卡尔平面上<math>f(x)=\arccsc x</math>(紅)和<math>f(x)=\arcsec x</math>(綠)函数的常用主值的图像。
</gallery>

==主值==
下表列出基本的反三角函数。

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!名称
!常用符号
!定义
!定义域
!值域
|-
| [[反正弦]] || <math>y=\arcsin x</math>|| <math>x=\sin y</math>|| <math>[-1,1]</math>|| <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
|-
| [[反余弦]] || <math>y=\arccos x</math>|| <math>x=\cos y</math>|| <math>[-1,1]</math> || <math>[0,\pi]</math>
|-
| [[反正切]] || <math>y=\arctan x</math>|| <math>x=\tan y</math>|| <math>\mathbb{R}</math> || <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>
|-
| [[反余切]] || <math>y=\arccot x</math>|| <math>x=\cot y</math>|| <math>\mathbb{R}</math> ||  <math>(0,\pi)</math>
|-
| [[反正割]] || <math>y=\arcsec x</math>|| <math>x=\sec y</math>|| <math>(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)</math> || <math>[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]</math>
|-
| [[反余割]] || <math>y=\arccsc x</math>|| <math>x=\csc y</math>|| <math>(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)</math> || <math>[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]</math>
|}
（注意：某些數學教科書的作者將<math>\arcsec</math>的值域定為<math>[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})</math>因為當<math>\tan</math>的定義域落在此區間時，<math>\tan</math>的值域<math>\geq 0</math>，如果<math>\arcsec</math>的值域仍定為<math>[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]</math>，將會造成<math>\tan(\arcsec x)=\pm\sqrt{x^2-1}</math>，如果希望<math>\tan(\arcsec x)=\sqrt{x^2-1}</math>，那就必須將<math>\arcsec</math>的值域定為<math>[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})</math>，基於類似的理由<math>\arccsc</math>的值域定為<math>(-\pi,-\frac{\pi}{2}]\cup(0,\frac{\pi}{2}]</math>）

如果<math>x</math>允许是[[复数 (数学)|复数]]，则<math>y</math>的值域只适用它的实部。


== 反三角函数之间的关系 ==
余角：
:<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>
:<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>
:<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>

负数参数：
:<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>
:<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>
:<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
:<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>
:<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>
:<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>

倒数参数：
:<math>\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x </math>
:<math>\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x </math>
:<math>\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ </math> <math>\ x > 0</math>
:<math>\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ </math> <math>\ x < 0</math>
:<math>\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ </math> <math>\ x > 0</math>
:<math>\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ </math> <math>\ x < 0</math>
:<math>\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x </math>
:<math>\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x </math>

如果有一段[[正弦]]表：
:<math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, </math> <math>\ 0 \leq x \leq 1 </math>
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从[[正切半角公式|半角公式]]<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math>，可得到：

:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},</math> <math> -1 < x \leq +1 </math>
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>

==三角函數與反三角函數的關係==
通過定義可知：

{|class="wikitable"
|-
!<math> \theta </math>
!<math>\sin \theta </math>
!<math>\cos \theta </math>
!<math>\tan \theta </math>
!圖示
|-
!<math>\arcsin x </math>
|<math>\sin (\arcsin x) = x </math>
|<math>\cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos x </math>
|<math>\sin (\arccos x) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos (\arccos x) = x </math>
|<math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan x </math>
|<math>\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan (\arctan x) = x</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot x </math>
|<math>\sin (\arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos (\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan (\arccot x) = \frac{1}{x}</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec x </math>
|<math>\sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos (\arcsec x) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math> \arccsc x </math>
|<math>\sin (\arccsc x) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos (\arccsc x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan (\arccsc x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[file:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|}

== 一般解 ==

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个<math>2\pi</math>区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于<math>2\pi k-\frac{\pi}{2}</math>结束于<math>2\pi k+\frac{\pi}{2}</math>（这里的<math>k</math>是一个整数），在<math>2\pi k+\frac{\pi}{2}</math>到<math>2\pi k+\frac{3\pi}{2}</math>上倒过来。余弦和正割的周期开始于<math>2\pi k</math>结束于<math>2\pi k +\pi</math>，在<math>2\pi k +\pi</math>到<math>2\pi k +2\pi</math>上倒过来。正切的周期开始于<math>2\pi k-\frac{\pi}{2}</math>结束于<math>2\pi k+\frac{\pi}{2}</math>，接着(向前)在<math>2\pi k+\frac{\pi}{2}</math>到<math>2\pi k+\frac{3\pi}{2}</math>上重复。余切的周期开始于<math>2\pi k</math>结束于<math>2\pi k +\pi</math>，接着（向前）在<math>2\pi k +\pi</math>到<math>2\pi k +2\pi</math>上重复。

这个周期性反应在一般反函数上：
:<math>\sin y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsin x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y= \pi - \arcsin x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )</math>
:<math>\cos y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccos x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arccos x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )</math>
:<math>\tan y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arctan x+ k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}</math>
:<math>\cot y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arccot x+ k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}</math>
:<math>\sec y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsec x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arcsec x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )</math>
:<math>\csc y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccsc x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = \pi - \arccsc x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )</math>

== 反三角函数的导数 ==

对于实数<math>x</math>的反三角函數的[[导函数]]如下：
:<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\end{align}</math>

舉例說明，设<math>\theta = \arcsin x \!</math>，得到：
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上<math>|x|<1</math>，其他導數公式同理可證<ref>

设<math>\theta =\arccos x</math>，得到：
:<math>\frac{d\arccos x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cos \theta }=\frac{-1}{\sin \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math>
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上<math>|x|<1</math>。<br />
设<math>\theta =\arctan x</math>，得到：
:<math>\frac{d\arctan x}{dx}=\frac{d\theta }{d\tan \theta }=\frac{1}{\sec ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\tan ^{2}\theta }=\frac{1}{1+x^{2}}</math><br />
设<math>\theta =\arccot x</math>，得到：
:<math>\frac{d\arccot x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cot \theta }=\frac{-1}{\csc ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\cot ^{2}\theta }=\frac{-1}{1+x^{2}}</math><br />
设<math>\theta =\arcsec x</math>，得到：
:<math>\frac{d\arcsec x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sec \theta }=\frac{1}{\sec \theta \tan \theta }=\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}</math>
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上<math>|x|>1</math>，比較容易被忽略是<math>\sec \theta </math>產生的絕對值<math>\sec ^{-1}\theta </math>的定義域是<math>0\le \theta \le \pi,\theta\ne\frac{\pi}{2} </math>，所以<math>\tan \theta = \pm \sqrt{x^{2}-1}</math>，所以<math>x</math>要加绝对值。<br />
设<math>\theta =\arccsc x</math>，得到：
:<math>\frac{d\arccsc x}{dx}=\frac{d\theta }{d\csc \theta }=\frac{-1}{\csc \theta \cot \theta }=\frac{-1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}</math>
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上<math>|x|>1</math>，比較容易被忽略是<math>\csc \theta </math>產生的絕對值<math>\csc ^{-1}\theta </math>的定義域是<math>-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2},\theta\ne0 </math>。</ref>。

== 表达为定积分 ==

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：
:<math>
\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1
\end{align}</math>
当<math>x</math>等于1时，在有极限的域上的积分是[[瑕积分]]，但仍是良好定义的。

== 无穷级数 ==

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用[[无穷级数]]计算如下：
:<math>
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left[z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots \right] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1 
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} -\left[z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
; \qquad \left| z \right| \ge -4 
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}
</math>

[[欧拉]]发现了反正切的更有效的级数：

:<math>\arctan x = \infty{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}</math>。

（注意对<math>x=0</math>在和中的项是[[乘法单位元|空积]]1。）

== 反三角函数的不定积分 ==

:<math>
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arcsec x +\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arccsc x -\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\
\end{align}</math>

使用[[分部积分法]]和上面的简单导数很容易得出它们。
===舉例===
使用<math>\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u</math>，設

:<math>
\begin{align}
u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
\mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x
\end{align}</math>

則

:<math>\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x</math>

[[換元積分法|換元]]

: <math>k = 1 - x^2.\,</math>

則

: <math>\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x</math>

且

:<math>\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}</math>

換元回''x''得到

:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math>

== 加法公式和減法公式 ==
==={{math|arcsin ''x'' + arcsin ''y''}} ===
:<math>\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), xy \leq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1 </math>

:<math>\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1 </math>

:<math>\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x < 0 , y < 0, x^2 + y^2 > 1 </math>

=== {{math|arcsin ''x'' - arcsin ''y''}} ===
:<math>\arcsin x - \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), xy \geq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1 </math>

:<math>\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1 </math>

:<math>\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x < 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1 </math>

=== {{math|arccos ''x'' + arccos ''y''}} ===
:<math>\arccos x + \arccos y = \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x + y \geq 0</math>
:<math>\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x + y < 0</math>
=== {{math|arccos ''x'' - arccos ''y''}} ===
:<math>\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x \geq y</math>

:<math>\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x < y</math>

=== {{math|arctan ''x'' + arctan ''y''}} ===
:<math>\arctan\,x + \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, xy < 1</math>

:<math>\arctan\,x + \arctan\,y =\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x > 0, xy > 1</math>

:<math>\arctan\,x + \arctan\,y =-\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x < 0, xy > 1</math>

=== {{math|arctan ''x'' - arctan ''y''}} ===
:<math>\arctan x - \arctan y =\arctan{\frac{x-y}{1+xy}},  xy > -1</math>

:<math>\arctan x - \arctan y =\pi + \arctan{\frac{x-y}{1+xy}},  x > 0, xy < -1</math>

:<math>\arctan x - \arctan y =-\pi + \arctan {\frac{x-y}{1+xy}},  x < 0, xy < -1</math>

=== {{math|arccot ''x'' + arccot ''y''}} ===
:<math>\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y</math>

:<math>\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y</math>

=== {{math|arcsin ''x'' + arccos ''y''}} ===
:<math>\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2},  |x|\leq1</math>

=== {{math|arctan ''x'' + arccot ''y''}} ===
:<math>\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}</math>

==註釋==
{{reflist}}

== 参见 ==
{{Portal|数学}}
* [[正切半角公式]]
* [[平方根]]
{{-}}
{{三角函數}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname=InverseTrigonometricFunctions | title=Inverse Trigonometric Functions}}
* http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html |date=20070621050220 }}

[[Category:反三角函数]]
[[Category:反三角函数|*]]
[[Category:基本特殊函数]]