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在数学中，一个双线性映射是由两个[[向量空间]]上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如[[矩阵]]乘法就是一个例子。

==定义==

设<math>V</math>, <math>W</math>和<math>X</math>是在同一个基础[[域 (数学)|域]]<math>F</math>上的三个[[向量空间]]。双线性映射是[[函数]]
:<math>B:V\times W\rightarrow X</math>

使得对于任何''<math>W</math>''中<math>w</math>，映射

:<math>v\mapsto B\left ( v,w \right )</math>

是从''<math>V</math>''到''<math>X</math>''的[[线性映射]]，并且对于任何''<math>V</math>''中的<math>v</math>，映射

:<math>w\mapsto B(v,w)</math>

是从''<math>W</math>''到''<math>X</math>''的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是[[线性算子]]，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果<math>V=W</math>并且有<math>B\left ( v,w \right )=B\left ( w,v \right )</math>对于所有''<math>V</math>''中的<math>v,w</math>，则我们称<math>B</math>是[[对称函数|对称]]的。

当这里的''<math>X</math>''是''<math>F</math>''的时候，我们称之为'''[[双线性形式]]'''，它特别有用(参见例子[[标量积]]、[[内积空间|内积]]和[[二次形式]])。

如果使用在[[交换环]]<math>R</math>上的[[模]]替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到<math>n</math>元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环''<math>R</math>''和右模<math>M_R</math>与左模<math>_RN</math>的情况，我们可以定义双线性映射<math>B:M\times N\rightarrow T</math>，这里的<math>T</math>是阿贝尔环，使得对于任何<math>N</math>中的<math>n,m\mapsto B\left ( m,n \right )</math>是群同态，而对于任何<math>M</math>中的<math>m,n\mapsto B\left ( m,n \right )</math>是群同态，并还满足

:<math>B\left ( mt,n \right )=B\left ( m,tn \right )</math>

对于所有的''<math>M</math>''中的<math>m</math>，<math>N</math>中<math>n</math>和<math>R</math>中的<math>t</math>。

定义<math>V</math>, <math>W</math>,''<math>X</math>''是有限维的，则''<math>L\left ( V,W;X \right )</math>''也是有限维的。对于''<math>X=F</math>''就是双线性形式，这个空间的维度是<math>\dim V\times\dim W</math>（尽管线性形式的空间''<math>L\left ( V\times W;K \right )</math>''的维度是<math>\dim V+\dim W</math>）。看得出来，选择<math>V</math>和''<math>W</math>''的[[基 (線性代數)|基]]；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵<math>B(e_i,f_j)</math>，反之亦然。现在，如果''<math>X</math>''是更高维的空间，我们明显的有<math>\dim L\left ( V,W;X \right )=\dim V\times\dim W\times\dim X</math>。

== 例子 ==

* [[矩阵乘法]]是双线性映射<math>M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)</math>。
* 如果在[[实数]]<math>\mathbb{R}</math>上的[[向量空间]]''<math>V</math>''承载了[[内积]]，则内积是双线性映射<math>V\times V\rightarrow\mathbb{R}</math>。
* 一般的说，对于在域<math>F</math>上的向量空间''<math>V</math>''，在''<math>V</math>''上的[[双线性形式]]同于双线性映射<math>V\times V\rightarrow F</math>。
* 如果''<math>V</math>''是有[[对偶空间]]<math>V^*</math>的向量空间，则应用[[算子]]<math>b(f,v)=f(v)</math>是从<math>V^*\times V</math>到基础域的双线性映射。
* 设''<math>V</math>''和''<math>W</math>''是在同一个基础域''<math>F</math>''上的向量空间。如果<math>f</math>是<math>V^*</math>的成员而<math>g</math>是<math>W^*</math>的成员，则<math>b(v,w)=f(v)g(w)</math>定义双线性映射<math>V\times W\rightarrow F</math>。
* 在<math>\mathbb{R}^3</math>中[[叉积]]是双线性映射<math>\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math>。
* 设<math>B:V\times W\rightarrow X</math>是双线性映射，而<math>L:U\rightarrow W</math>是[[线性算子]]，则<math>(v,u)\rightarrow B(v,Lu)</math>是在<math>V\times U</math>上的双线性映射。
* [[零函数|零映射]]，定义于<math>B(v,w) = o</math>对于所有<math>V\times W</math>中的<math>(v,w)</math>，是从<math>V\times W</math>到''<math>X</math>''的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果<math>(v,w)\in V\times W</math>，则<math>B(v,w)= B(v,o)+B(o,w)=o+o</math>。

==参见==
* [[张量积]]
* [[多线性映射]]
* [[半双线性形式]]
* [[双线性滤波]]
{{泛函分析}}
[[Category:函数|S]]
[[Category:多重线性代数|S]]
[[Category:双线性算子]]