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在[[抽象代数]]中，一个'''双模'''（{{lang|en|bimodule}}）是一个既为左[[模]]也为右模的[[阿贝尔群]]，且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域，双模也扮演着澄清的角色，许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。

== 定义 ==

如果 ''R'' 和 ''S'' 是两个环，则一个 ''R''-''S''-'''双模'''是一个阿贝尔群 ''M'' 使得：
# ''M'' 是一个左 ''R''-模和一个右 ''S''-模；
#  对所有 ''r'' 属于 ''R''，''s'' 属于 ''S'' 以及 ''m'' 属于 ''M''：
:: (''rm'')''s'' = ''r''(''ms'').

一个 ''R''-''R''-双模也称为 ''R''-双模。

== 例子 ==

* 对正整数 ''n'' 与 ''m''，''n'' &times; ''m'' [[实数]][[矩阵]]集合 ''M''<sub>''n'',''m''</sub>('''R''') 是一个 ''R''-''S'' 双模，这里 ''R'' 是 ''n'' &times; ''n'' 矩阵环 ''M''<sub>''n''</sub>('''R''')，而 ''S'' 是 ''m'' &times; ''m'' 矩阵环 ''M''<sub>''m''</sub>('''R''')。加法与乘法是通常的[[矩阵加法]]与[[矩阵乘法]]；矩阵的高度与宽度已选定故可以定义乘法。注意到 ''M''<sub>''n'',''m''</sub>('''R''') 自己不是一个环（除非 ''n'' = ''m''）因为两个 ''n'' &times; ''m'' 矩阵相乘没有定义。双模的关键性质 (''r'' ''x'')''s'' = ''r''(''x'' ''s'')，即矩阵乘法服从[[结合律]]的陈述。
* 如果 ''R'' 是一个环，则 ''R'' 自身是一个 ''R''-双模，同样 ''R''<sup>''n''</sup>（''R'' 的 ''n''-重[[环的积|直积]]）。
* 环 ''R'' 的任何双边[[理想 (环论)|理想]]是一个 ''R''-双模。
* 交换环 ''R'' 上任何模自然是一个双模。例如若 ''M'' 是一个左模，我们可以定义在右边的乘法与在左边的乘法一样（但不是所有 ''R''-双模都是这样的）。
* 如果 ''M'' 是一个左 ''R''-模，则 ''M'' 是一个 ''R''-'''Z''' 双模，这里 '''Z''' 是[[整数]]环。类似地，右 '''R'''-模可理解为 '''Z'''-''R'' 双模，事实上一个阿贝尔群可以视为一个 '''Z'''-'''Z''' 双模。
* 如果 ''R'' 是 ''S'' 的一个[[子环]]，则 ''S'' 是一个 ''R''-双模。它也是一个 ''R''-''S'' 和 ''S''-''R'' 双模。

== 其他概念与事实 ==

如果 ''M'' 与 ''N'' 是 ''R''-''S'' 双模，则一个映射 ''f'' : ''M'' → ''N'' 是一个双模同态如果它既是左 ''R''-模同态也是右 ''S''-模同态。

一个 ''R''-''S'' 双模事实上与环 <math>R \otimes_\mathbb{Z} S^{op}</math> 上一个左模是一回事，这里 ''S''<sup>op</sup> 是 ''S'' 的反环（将乘法给变顺序）。双模同态与左 <math>R \otimes_\mathbb{Z} S^{op}</math> 模同态一样。利用这些事实，许多关于模的定义与陈述可立即翻译为双模的定义与陈述。例如，所有 ''R''-''S'' 双模之[[范畴 (数学)|范畴]]是[[阿贝尔范畴|阿贝尔]]的，标准[[同构定理]]对双模也成立。
 
但是在双模的世界中仍有某些新结果，特别是[[张量积]]：如果 ''M'' 是一个 ''R''-''S'' 双模而 ''N'' 是一个 ''S''-''T'' 双模，则 ''M'' 与 ''N'' 的张量积（在环 ''S''上取）自然是一个 ''R''-''T'' 双模。这个双模的这个张量积是[[结合律|结合]]（相差惟一一个典范同构），从而我们可以构造一个范畴，其对象是环而态射是双模。进一步，如果 ''M'' 是一个 ''R''-''S'' 双模而 ''L'' 是一个 ''T''-''S'' 双模，则[[集合 (数学)|集合]] Hom<sub>''S''</sub>(''M'',''L'') of 所有从 ''M'' 到 ''L''  ''S''-模同态成为一个自然的 ''T''-''R'' 双模。这些论述推广为[[导出函子]] [[Ext函子|Ext]] 与 [[Tor函子|Tor]]。

{{tsl|en|Profunctor|副函子}}可以视为双模的一个范畴推广。

注意双模的概念与[[双代数]]完全无关。

== 相关条目 ==
* [[副函子]]

== 参考文献 ==

* p133–136, {{cite book | author=Jacobson, N. | authorlink=Nathan Jacobson| title=Basic Algebra II | publisher=W. H. Freeman and Company | year=1989 | isbn=0-7167-1933-9 }}

[[Category:模论]]