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[[File:Bi-elliptic_transfer.svg|缩略图|从星球低轨（蓝色）到高轨（红色）的双椭圆转移。在1处的切向加速会使航天器轨迹变为绿色的半椭圆。2 处的切向加速使轨迹变为橙色的半椭圆。3 处的切向减速使航天器到达目标轨道]]
{{航天动力学}}

在[[航天]]科学中，'''双椭圆转移'''是一种将[[航天器]]从一个[[轨道 (力学)|轨道]]移动到另一个轨道的轨道机动，在某些情况下，消耗的[[ΔV]]（速度变化量，用以衡量一个航天器的机动能力）可能比[[霍曼转移]]更少。

双椭圆转移的轨迹由两个半[[椭圆]]组成。航天器在初始轨道的第一次加速会将航天器推进到第一个转移轨道，该轨道的[[远拱点]]（距离星球中心最远的点）为<math>r_b</math>。当航天器到达该点时，进行第二次加速，让轨道的[[近拱点]]抬升到目标轨道。航天器到达近拱点后，开始减速（大氣減速或點火），降低远拱点，最终到达目标轨道。<ref name="Curtis">{{Cite book|last=Curtis|first=Howard|title=Orbital Mechanics for Engineering Students|page=264|publisher=[[Elsevier]]|year=2005|isbn=0-7506-6169-0|url=https://books.google.com/books?id=6aO9aGNBAgIC|access-date=2021-10-02|archive-date=2022-04-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407010221/https://books.google.com/books?id=6aO9aGNBAgIC|dead-url=no}}</ref>

虽然这种转移方法和霍曼转移相比，需要更多的发动机点火次数，并且通常需要更长的时间，但是当最终轨道与初始轨道的[[半长轴]]长度之比大于等于 11.94 时，如果所选择的中间轨道的远点适当，则双椭圆转移需要的总ΔV比霍曼转移要低。<ref>{{Cite book|last=Vallado|first=David Anthony|title=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|page=318|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-7923-6903-3|url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|access-date=2021-10-02|archive-date=2020-07-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20200710051404/https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|dead-url=no}}</ref>

双椭圆转移轨道的思路由[[斯滕菲尔德|阿里·斯滕菲尔德]]于1934年提出。<ref name="sternfeld1934">{{Citation|last=Sternfeld|first=Ary {{sic|J.|expected=A.}}|title=Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée|language=fr|trans_title=On the allowed trajectories for approaching a central attractive body from a given Keplerian orbit|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN|journal=Comptes rendus de l'Académie des sciences|place=Paris|volume=198|number=1|date=1934-02-12|pages=711–713|accessdate=2021-10-02|archive-date=2020-09-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20200925173446/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN|dead-url=no}}.</ref>

== 计算 ==

=== ΔV ===
双椭圆转移的三次机动所需的速度变化量可以直接由[[活力公式]]得到：
{{block indent|<math>v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right),</math>}}
其中

* <math>v</math>为轨道物体（航天器）的速度，
* <math>\mu = GM</math>为星体的[[标准重力参数]]，
* <math>r</math>为轨道物体与星体的距离，即轨道半径，
* <math>a</math>为当前轨道的[[半长轴]]。

然后，定义

* <math>r_1</math>为初始圆轨道的半径，
* <math>r_2</math>为最终圆轨道的半径，
* <math>r_b</math>为两个椭圆转移轨道的公共远拱点半径，是机动的自由参数，
* <math>a_1</math>和<math>a_2</math>是两个椭圆转移轨道的半长轴，由下式计算得出：{{Block indent|<math>a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2}</math>，<math>a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}</math>。}}

从半径为<math>r_1</math> 的初始圆轨道开始（右图中深蓝色圆圈），切向加速（图中标记 1）使航天器进入第一个椭圆转移轨道（浅绿色半椭圆）。这次加速所需的ΔV的大小是

{{block indent|<math>\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} </math>。}}

第一个转移轨道的远拱点抵达之后（此时据星球中心距离为<math>r_b</math>），第二次切向加速（标记 2）提升轨道的近拱点，使其与目标轨道的半径相匹配，让航天器进入第二个椭圆轨道（橙色半椭圆）。第二次切向加速所需的ΔV的大小为

{{block indent|<math>\Delta v_2 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1}}</math>。}}

最后，航天器到达轨道近拱点（与星球中心距离为<math>r_2</math>）后，切向减速（标记 3）圆化轨道，进入目标轨道（红色圆圈）。最后的切向减速需要的ΔV的大小为

{{block indent|<math>\Delta v_3 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}</math>。}}

如果<math>r_b = r_2</math>，转移将退化为霍曼转移（在这种情况下<math>\Delta v_3</math>为零）。因此，双椭圆转移是一类更一般的轨道转移，霍曼转移是一种仅需两次机动的特殊情况。
[[File:Bi-parabolicTransfer.png|缩略图|从圆形低轨（深蓝色）到圆形高轨（红色）的双抛物线转移]]
可以通过假设<math>r_b = \infty</math>来计算最多能节省多少<math>\Delta v</math>，此时总<math>\Delta v</math>为<math>\sqrt{\mu/r_1} \left(\sqrt{2} - 1\right) \left(1 + \sqrt{r_1/r_2}\right)</math>。这种转移也被称为双抛物线转移，因为两个转移轨道不再是椭圆而是[[拋物線軌道|抛物线]]，转移时间也增加到无穷大。

=== 转移时间 ===
与霍曼转移相同，双椭圆转移中使用的两个转移轨道恰好都是半椭圆。这意味着两次转移的所需时间都是整个椭圆转移轨道周期的一半。

使用[[轨道周期]]方程和上面的符号定义，
{{block indent|<math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}</math>，}}
总转移时间<math>t</math>是两个半椭圆轨道所需时间的总和，所以：
{{block indent|<math>t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} \quad </math>，<math>\quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}\quad </math>，<math>\quad t = t_1 + t_2</math>。}}

== 与霍曼转移的比较 ==

=== ΔV方面 ===
[[File:Bielliptic_transfers_comparison.svg|缩略图| 霍曼转移（粗黑色曲线）双椭圆转移（彩色曲线）所需的ΔV，横轴为目标轨道和初始轨道半径之比]]
图中显示了两种转移方法从半径为<math>r_1</math>的圆形轨道转移到另一个半径为<math>r_2</math>的圆形轨道所需的总<math>\Delta v</math>。纵轴为<math>\Delta v/v_1</math>，即用<math>v_1</math>归一化<math>\Delta v</math>；横轴为为最终轨道和初始轨道的半径之比，<math>R \equiv r_2 / r_1</math>。这样处理的目的是使各种转移方式比较具有一般性（即不依赖于具体的<math>r_1</math>、<math>r_2</math>、<math>\Delta v</math>和<math>v_1</math>，仅与它们的比率有关）。<ref name="Vallado">{{Cite book|last=Vallado|first=David Anthony|title=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|page=318|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-7923-6903-3|url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|access-date=2021-10-02|archive-date=2020-07-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20200710051404/https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|dead-url=no}}</ref>

粗黑曲线表示霍曼转移的所需<math>\Delta v</math>，而较细的彩色曲线对应于具有不同参数<math>\alpha</math>的双椭圆转移，其中<math>\alpha \equiv r_b / r_1</math>，为中间轨道远点半径<math>r_b</math>和初始轨道的半径之比，并在曲线旁边标出。图中突出了双椭圆转移的曲线第一次与霍曼转移的曲线相交的区域。

可以看到，如果半径之比<math>R</math>小于 11.94，霍曼转移更加有效率。另一方面，如果最终轨道的半径比初始轨道的半径大 15.58 倍以上，那么任何双椭圆转移，无论其远点半径是多少，只要它大于最终轨道的半径，就比霍曼转移需要更少的<math>\Delta v</math>。比值在 11.94 和 15.58 之间时，哪个转移方式更好取决于远点距离<math>r_b</math>。对于在这个范围内的<math>R</math>，存在一个值，<math>r_b</math>高于它时双椭圆转移更加优越，低于它时霍曼转移是更好的。下表列出每個情況下，有哪些<math>\alpha \equiv r_b / r_1</math>，使双椭圆转移優於霍曼转移。 <ref>{{Cite journal|title=A Survey of Impulsive Trajectories|last=Gobetz|first=F. W.|last2=Doll|first2=J. R.|date=May 1969|journal=AIAA Journal|publisher=[[美国航空航天学会|American Institute of Aeronautics and Astronautics]]|issue=5|doi=10.2514/3.5231|volume=7|pages=801–834|bibcode=1969AIAAJ...7..801D}}</ref>
{| class="wikitable"
|+使双椭圆转移需要更少<math>\Delta v</math>的<math>\alpha \equiv r_b/r_1</math>的下限 <ref>{{Cite book|first=Pedro R.|last=Escobal|title=Methods of Astrodynamics|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons]]|year=1968|isbn=978-0-471-24528-5}}</ref>
!半径比 <math>\frac{r_2}{r_1}</math>
!最小的<math>\alpha \equiv \frac{r_b}{r_1}</math>
!注释
|-
|<11.94|| {{N/A}} 
|霍曼转移更加有效
|-
|11.94
| <math>\infty</math>
|相当于双抛物线转移
|-
|12
| 815.81
|
|-
| 13
| 48.90
|
|-
| 14
| 26.10
|
|-
| 15
| 18.19
|
|-
| 15.58
| 15.58
|
|-
| >15.58
| <math>> \frac{r_2}{r_1}</math>
|任何双椭圆转移都更有效
|}

=== 转移时间 ===
双椭圆转移所需要的更长转移时间
<math>t = \pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} + \pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>
是这种转移方式的主要缺点。对于双抛物线转移的极限情况，所需时间甚至变为无穷大。

霍曼转移花费的时间不到一半，因为它的转移轨道只有一个半椭圆，更准确的计算为
<math>t = \pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}</math>。

=== 组合机动的多功能性 ===
虽然双椭圆转移在半径之比有限制的情况下，比霍曼转移更加节省ΔV，但节省的幅度相当小，双椭圆转移与一些其他的机动组合起来更加有优势。

在远点时，航天器的轨道速度较低，并可以以较小的ΔV成本实现近点的显著变化。同时，也可以以较小的ΔV变化轨道倾角。在远点将两种操作组合起来，比先改变半径再改变倾角的方式，显著地节省ΔV。

同样地，若想将轨道近点降入行星的大气层，以进行大气制动，减小速度，在远点也只需很小的ΔV，但之後可以用大气的“免费”阻力来降低远点；尽管事後要增加一次额外的机动，将近点重新抬离大气层，但在某些条件下，这樣的开销可能遠低於简单地用類似霍曼转移的方式降低轨道半径。

== 样例 ==
从半径为{{Nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} 6700&nbsp;km}}的圆形[[近地轨道]]转移到半径为{{Nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 93 800&nbsp;km}}的轨道，使用[[霍曼轉移軌道|霍曼转移]]需要的Δv为{{Nowrap|2825.02 + 1308.70 {{=}} 4133.72&nbsp;m/s}}。然而，因为{{Nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 14''r''<sub>0</sub> &gt; 11.94''r''<sub>0</sub>}}，所以使用双椭圆转移可以做得更好。如果航天器先在近地轨道将速度增加3061.04 m/s，让远地点变为{{Nowrap|''r''<sub>2</sub> {{=}} 40''r''<sub>0</sub> {{=}} 268 000&nbsp;km}}，然后在远地点将速度增加608.825 m/s，使近地点半径变为{{Nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 93 800&nbsp;km}} ，最后第二个转移轨道的近地点将速度降低447.662 m/s以圆化轨道，那么总的Δv将只有 4117.53 m/s，比霍曼转移方案小了16.19 m/s (0.4%)。

可以通过增加中间轨道的远地点来进一步增加Δv的节省量，但代价是转移时间的进一步延长。当远地点为{{Nowrap|75.8''r''<sub>0</sub> {{=}} 507 688&nbsp;km}} （地月距离的 1.3 倍）时，双椭圆转移将比霍曼转移节省 1%Δv，但需要 17 天的时间。当远地点为{{Nowrap|1757''r''<sub>0</sub> {{=}} 11 770 000&nbsp;km}} （到月球距离的 30 倍）时，双椭圆转移将比霍曼转移节省2%的Δv，但转移将需要 4.5 年（并且在转移过程中会受到其他太阳系天体的引力影响，相当不切实际）。相比之下，霍曼转移只需要 15 小时 34 分钟。
{| class="wikitable"
|+多种轨道转移方式的Δv
! colspan="2" |类型
!霍曼转移
! colspan="4" |双椭圆转移
|-
! colspan="2" |远地点 (km)
|93 800
|268 000
|507 688
|11 770 000
|∞
|-
! rowspan="3" |速度改变量<br /><br />(m/s)
!1
|{{increase}} 2825.02
|{{increase}} 3061.04
|{{increase}} 3123.62
|{{increase}} 3191.79
|{{increase}} 3194.89
|-
!2
|{{increase}} 1308.70
|{{increase}} 608.825
|{{increase}} 351.836
|{{increase}} 16.9336
|{{steady}} 0
|-
!3
|{{steady}} 0
|{{decrease}} 447.662
|{{decrease}} 616.926
|{{decrease}} 842.322
|{{decrease}} 853.870
|-
! colspan="2" |总和(m/s)
|4133.72
|4117.53
|4092.38
|4051.04
|4048.76
|-
! colspan="2" |与霍曼转移比较
|100%
|99.6%
|99.0%
|98.0%
|97.94%
|}
{{Unbulleted list|{{increase}} Δv 表示切向加速|{{decrease}} Δv 表示切向减速}}显然，双椭圆轨道在第一次加速中花费了更多的Δv。这对轨道能量产生了更高的影响，即[[奥伯特效应]]，导致了所需Δv的减少。

== 参见 ==
{{Portal|航天}}
* [[霍曼转移]]
* [[奥伯特效应]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{軌道}}

[[Category:航天器推进]]
[[Category:太空動力學]]
[[Category:軌道機動]]