查看“︁双摆”︁的源代码

[[Image:Double-Pendulum.svg|upright|thumb|将一根单摆连接在另一根的尾部，即为双摆。]]
'''双摆'''是将一根[[单摆]]连接在另一个单摆的尾部所构成的系统。双摆同时拥有着简单的构造和复杂的行为。高能量双摆的摆动轨迹表现出对于初始状态的极端敏感。两个初始状态差异极小的双摆在一段时间的运行后表现非常不同，是一种具有[[混沌理论|混沌]]性质的简单[[动力系统]]<ref>『機械工学辞典』 日本機械学会、丸善、2007年1月20日、第2版、966頁。ISBN 978-4-88898-083-8。</ref><ref>Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038</ref>。

==分析以及詮釋==
可以考慮許多不同種類的双摆：二個擺的長度及重量可能相同，也可能不同。二個擺可能都是單擺，也有可能是複擺（compound pendulum），其運動可能限制在二維空間，也可以在三維空間內進行。在以下的分析中，二個擺的擺長{{mvar|l}}及質量都相同{{mvar|m}}，運動限制在二維空間內。

[[Image:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|right|thumb|双摆]]
[[Image:double-compound-pendulum.gif|right|frame|双摆的運動，依運動方程進行[[數值積分]]所得]]
[[File:Trajektorie eines Doppelpendels.gif|thumb|双摆的軌跡]]

複擺的質量假設是延著其長度均勻分佈，則其複擺的[[質心]]是在中點，複擺的臂對中點的[[轉動慣量]]為{{math|''I'' {{=}} {{sfrac|1|12}}''ml''<sup>2</sup>}}。

比較方便定義系統[[位形空间]]的方式是用複擺臂和垂直線之間的夾角為[[廣義座標]]。角度名稱為{{math|''θ''<sub>1</sub>}}及{{math|''θ''<sub>2</sub>}}。二桿質心的位置可以用二個座標表示。若[[笛卡尔坐标系]]的原點是在第一個擺（最上方擺）的固定點，則其第一個擺的質心在：
:<math>\begin{align}
x_1 &= \frac{l}{2} \sin \theta_1 \\
y_1 &= -\frac{l}{2} \cos \theta_1
\end{align}</math>
第二個擺的質心在：
:<math>\begin{align}
x_2 &= l \left ( \sin \theta_1 + \tfrac{1}{2} \sin \theta_2 \right ) \\
y_2 &= -l \left ( \cos \theta_1 + \tfrac{1}{2} \cos \theta_2 \right )
\end{align}</math>
上述資訊已經可以建立拉格朗日量（Lagrangian）。
===拉格朗日力學===
双摆系統的[[拉格朗日量]]為
:<math>
\begin{align}L & = \text{kinetic energy} - \text{potential energy} \\
 & = \tfrac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
 & = \tfrac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \tfrac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}
</math>
第一項是質心的平移[[动能]]，第二項是擺延著質心旋轉的轉動動能，最後一項是双摆在均勻重心場下的[[势能]]。其點標示表示變數的[[时间导数]]。

將以上的座標代入，重組後可得
:<math>
L = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) + \tfrac{1}{2} m g l \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).
</math>
這裡只有一個守恆量（能量），沒有守恆的動量，二個廣義的動量可以表示為

:<math>\begin{align}
p_{\theta_1} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ) \\
p_{\theta_2} &= \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \tfrac{1}{6} m l^2 \left ( 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ).
\end{align}</math>

上式可以求得

:<math>\begin{align}
{\dot \theta_1} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)} \\
{\dot \theta_2} &= \frac{6}{ml^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.
\end{align}</math>

運動方程式為

:<math>\begin{align}
{\dot p_{\theta_1}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{l} \sin \theta_1 \right ) \\
{\dot p_{\theta_2}} &= \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -\tfrac{1}{2} m l^2 \left ( -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + \frac{g}{l} \sin \theta_2 \right ).
\end{align}</math>

最後四個方程是有系統目前狀態時，系統隨時間演進的顯式方程。不太可能再進一步求得方程的積分解析解，得到{{math|''θ''<sub>1</sub>}}和{{math|''θ''<sub>2</sub>}}時間顯函數的解。不過利用[[龙格－库塔法]]或其他數值方式，可以進行[[數值積分]]來求解。
[[File:Double pendulum simulation python.gif|right|frame|複擺模擬示意圖。]]
==混沌運動==
[[Image:Double pendulum flips graph.png|thumb|双摆不同初始條件下，翻倒時間的圖]]
[[File:DPLE.jpg|right|thumb|延时摄影拍摄的双摆轨迹]]

双摆的運動是[[混沌]]運動，且對[[初始條件]]非常敏感。右圖是雙擺在不同初始條件下，是否會翻倒（成為倒擺）的圖。其{{math|''θ''<sub>1</sub>}}初始值的範圍是在{{mvar|x}}方向的−3到3，而{{math|''θ''<sub>2</sub>}}初始值的範圍是在{{mvar|y}}方向的−3到3。點的顏色說明擺在以下時間內會翻倒：
* {{math|10{{sqrt|{{frac|''l''|''g''}}}}}}（綠色）
* {{math|100{{sqrt|{{frac|''l''|''g''}}}}}}（紅色）
* {{math|1000{{sqrt|{{frac|''l''|''g''}}}}}}（紫色）
* {{math|10000{{sqrt|{{frac|''l''|''g''}}}}}}（蓝色）

[[File:Demonstrating Chaos with a Double Pendulum.gif|thumb|三個初始位置幾乎相同的双摆，一段時間後軌跡的發散，表示系統的混沌特性]]
若在{{math|10000{{sqrt|{{frac|''l''|''g''}}}}}}時間後，仍然不會翻倒，其顏色為白色。

中心白色區域的邊界可以依能量守恆推得，為以下的曲線：
:<math>3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2. </math>

因此若

:<math>3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2, </math>

以能量的關係，双摆不可能翻倒。在此區域外，以能量來說，双摆有可能翻倒，但是否會翻倒本身是很複雜的問題。若雙擺的末端是[[點粒子|點質量]]，不是質量均勻分佈的桿子，情形類似<ref>Alex Small, ''[https://12d82b32-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/physicistatlarge/Computational%20Physics%20Sample%20Project-Alex%20Small-v1.pdf Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum]{{Dead link}}'', (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.</ref>。

雙擺沒有自然共振頻率，因此可用在大樓{{le|調諧質量阻尼器|Tuned mass damper|抗震設計的雙擺系統}}中，大樓本身是主要的倒擺，而上面又有一個質量，形成倒雙擺。

==相关條目==
*[[单摆]]
*[[倒雙擺]]
*{{le|布萊克本擺|Blackburn pendulum}}

==参考資料==
{{reflist}}
*{{cite book
 | last = Meirovitch
 | first = Leonard
 | year = 1986
 | title = Elements of Vibration Analysis
 | url = https://archive.org/details/elementsofvibrat0000meir
 | edition = 2nd
 | publisher = McGraw-Hill Science/Engineering/Math
 | isbn = 0-07-041342-8
}}
* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum] {{Wayback|url=http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html |date=20210204034617 }}'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ |date=20191004152131 }}" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).
* [[Peter Lynch (meteorologist)|Peter Lynch]], ''[https://web.archive.org/web/20030608233118/http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''
* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum] {{Wayback|url=http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html |date=20070603131902 }}'', ''(Java applet simulation.)''
* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[https://web.archive.org/web/20070310213326/http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).
==外部链接==
*[http://video.mit.edu/watch/double-pendulum-6392 麻省理工学院TSG小组进行的双摆行为演示（实物）]{{Wayback|url=http://video.mit.edu/watch/double-pendulum-6392 |date=20151018161824 }}
*[https://www.youtube.com/watch?v=QXf95_EKS6E Youtube上的双摆轨迹演示（电脑模拟）]{{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=QXf95_EKS6E |date=20151022132600 }}


{{混沌理论}}

[[Category:混沌映射]]
[[Category:摆]]
[[Category:动力系统]]
[[Category:数学物理]]