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{{No footnotes|time=2022-04-22T20:29:13+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Bijection.svg|thumb|200px|一个双射函数]]

{{各種函數}}

[[數學]]中，一個由[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>[[映射]]至集合<math>Y</math>的[[函數]]，若對每一在<math>Y</math>內的<math>y</math>，存在唯一一個在<math>X</math>內的<math>x</math>与其对应，且對每一在<math>X</math>內的<math>x</math>，存在唯一一個在<math>Y</math>內的<math>y</math>与其对应，則此函數為'''對射函數'''。

換句話說，如果其為兩集合間的'''一一對應'''，则<math>f</math>是雙射的。即，同時為[[單射]]和[[滿射]]。

例如，由[[整數]]集合<math>\Z</math>至<math>\Z</math>的函數<math>\operatorname{succ}</math>，其將每一個整數<math>x</math>連結至整數<math>\operatorname{succ}(x)=x+1</math>，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數<math>\operatorname{sumdif}</math>，其將每一對實數<math>(x,y)</math>連結至<math>\operatorname{sumdif}(x,y) = (x + y, x - y)</math>，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為'''雙射'''（{{lang-en|bijection}}）或'''[[置換]]'''。後者一般較常使用在<math>X=Y</math>時。以由<math>X</math>至<math>Y</math>的所有雙射組成的集合標記為<math>X \leftrightarrow Y </math>。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在[[同構]]的定義（以及如[[同胚]]和[[微分同構]]等相關概念）、[[置換群]]、[[投影映射]]及許多其他概念的基本上。

==複合函數與反函數==
一函數<math>f</math>為雙射的若且唯若其[[逆關係]]<math>f^{-1}</math>也是個函數。在這情況，<math>f^{-1}</math>也會是雙射函數。

兩個雙射函數<math>f: X \leftrightarrow Y</math>及<math>g : Y \leftrightarrow Z</math>的[[複合函數]]<math>g\circ f</math>亦為雙射函數。其反函數為<math>(g\circ f)^{-1} = (f^{-1})\circ (g^{-1})</math>。

[[File:Bijective_composition.svg|thumb|300px|一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。]]
另一方面，若<math>g\circ f</math>為雙射的，可知<math>f</math>是單射的且<math>g</math>是滿射的，但也僅限於此。

一由<math>X</math>至<math>Y</math>的關係<math>f</math>為雙射函數若且唯若存在另一由<math>Y</math>至<math>X</math>的關係<math>g</math>，使得<math>g\circ f</math>為<math>X</math>上的[[恆等函數]]，且<math>f\circ g</math>為<math>Y</math>上的[[恆等函數]]。必然地，此兩個集合會有相同的[[势 (数学)|勢]]。

==雙射與勢==
若<math>X</math>和<math>Y</math>為[[有限集合]]，則其存在一兩集合的雙射函數[[若且唯若]]兩個集合有相同的元素個數。確實，在[[公理集合論]]裡，這正是「相同元素個數」的''定義''，且廣義化至[[無窮|無限]]集合，並導致了[[基数 (数学)|基數]]的概念，用以分辨[[無限集合]]的不同大小。

==例子與反例==
* 對任一集合<math>X</math>，其[[恆等函數]]為雙射函數。
* 函數<math>f : \R\rightarrow\R</math>，其形式為<math>f(x) = 2x + 1</math>，是雙射的，因為對任一<math>y</math>，存在一唯一<math>x = (y - 1)/2</math>使得<math>f(x) = y</math>。
* [[指數函數]]<math>g : \R \rightarrow\R</math>，其形式為<math>g(x) = e^{x}</math>，不是雙射的：因為不存在一<math>\R</math>內的<math>x</math>使得<math>g(x) = -1</math>，故<math>g</math>非為雙射。但若其[[到达域|陪域]]改成正實數<math>\R^{+} = (0,+\infty )</math>，則<math>g</math>便是雙射的了；其反函數為[[自然對數]]函數<math>\ln</math>。
* 函數<math>h</math> : <math>\R \rightarrow [0,+\infty )</math>，其形式為<math>h(x) = x^2</math>，不是雙射的：因為<math>h(-1) = h(1) = 1</math>，故<math>h</math>非為雙射。但如果把定義域也改成<math>[0,+\infty )</math>，則<math>h</math>便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
* <math>\R \to \R : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math>不是雙射函數，因為<math>-1, 0</math>和<math>1</math>都在其定義域裡且都映射至<math>0</math>。
* <math>\R \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math>不是雙射函數，因為<math>\pi/3</math>和2<math>\pi/3</math>都在其定義域裡且都映射至<math>\sqrt{3}/2</math>。

==性質==
* 一由[[實數]]<math>\mathbb{R}</math>至<math>\mathbb{R}</math>的函數<math>f</math>是雙射的，若且唯若其[[函數圖像|圖像]]和任一水平線相交且只相交於一點。
* 設<math>X</math>為一集合，則由<math>X</math>至其本身的雙射函數，加上其複合函數「<math>\circ</math>」的運算，會形成一個[[群]]，即為<math>X</math>的[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]，其標記為<math>\mathfrak{S}(X)</math>、<math>\mathfrak{S}_{X}</math>或<math>X!</math>。
* 取一定義域的子集<math>A</math>及一陪域的子集<math>B</math>，則
:<math>|f(A)| = |A|</math>且<math>|f^{-1}(B)| = |B|</math>。
* 若<math>X</math>和<math>Y</math>為具相同[[势 (数学)|勢]]的[[有限集合]]，且<math>f: X \to Y</math>，則下列三種說法是等價的：
:# <math>f</math>為一雙射函數。
:# <math>f</math>為一滿射函數。
:# <math>f</math>為一單射函數。
* 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如<math>y = x^{-3}</math>）。

==雙射與範疇論==
形式上，雙射函數恰好是[[集合範疇]]內的[[同構]]。

==另見==
*[[等势]]
*[[單射]]
*[[同構]]
*[[置換]]
*[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]
*[[满射]]
*[[雙射計數法]]
*[[水平线测试]]

==參考文獻==
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==外部連結==
{{Commons|Category:Bijectivity|Bijectivity}}
* {{springer|title=Bijection|id=p/b016230}}
* {{MathWorld|title=Bijection|urlname=Bijection}}
* [http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]{{Wayback|url=http://jeff560.tripod.com/i.html |date=20170817162925 }}

{{集合论}}

[[Category:函数]]
[[Category:集合論基本概念]]
[[Category:数学关系]]
[[Category:各类函数]]