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在[[统计力学]]和[[图论]]中，'''双体模型'''（dimer model）是[[二维空间]][[密鋪]]的模型，也称为'''[[骨牌]]密鋪'''（Domino tiling，[[多米诺]]密鋪）或'''随机密铺模型'''（random tiling model）。这也是平方[[格子]]的[[完美匹配]]。<ref name=":2">{{Cite web|title=What is a dimer?|url=http://www.ams.org/notices/200503/what-is.pdf|accessdate=|author=Richard Kenyon and Andrei Okounkov|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2020-07-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20200730041043/http://www.ams.org/notices/200503/what-is.pdf|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite book|chapter=Directions in mathematical quasicrystals|url=https://www.worldcat.org/oclc/45248226|publisher=American Mathematical Society|date=2000|location=Providence, R.I.|isbn=0-8218-2629-8|oclc=45248226|last=Baake, Michael.|last2=Moody, R. V., 1941-}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The planar dimer model with boundary: a survey|url=https://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/dimers.pdf|accessdate=|author=Richard Kenyon|date=|format=|publisher=|language=en|archive-date=2013-01-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20130127122349/http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/dimers.pdf|dead-url=yes}}</ref><ref name=":3">{{Cite web|title=Introduction to Random Tilings|url=http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html|accessdate=2020-02-14|work=faculty.uml.edu|archive-date=2015-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20150706021514/http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html|dead-url=no}}</ref>
[[File:Pavage_domino.svg|缩略图|8x8平方骨牌密鋪]]

== 介绍 ==
若有 <math> m \times n </math> 平方格子G、以及<math> mn/2 </math> 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是<ref>{{Cite journal|title=Dimer problem in statistical mechanics-an exact result|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786436108243366|last=Temperley|first=H. N. V.|last2=Fisher|first2=Michael E.|date=1961-08|journal=Philosophical Magazine|issue=68|doi=10.1080/14786436108243366|volume=6|pages=1061–1063|language=en|issn=0031-8086|access-date=2020-02-13|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121074148/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786436108243366|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=The statistics of dimers on a lattice|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0031891461900635|last=Kasteleyn|first=P.W.|date=1961-12|journal=Physica|issue=12|doi=10.1016/0031-8914(61)90063-5|volume=27|pages=1209–1225|language=en|access-date=2020-02-13|archive-date=2020-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20200213143137/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0031891461900635|dead-url=no}}</ref><ref name=":2" />

<math> Z = \sqrt{|\det K|} = \prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).</math>

K是G的[[邻接矩阵]]。 Z也是统计力学的[[配分函数]]。<ref name=":0">{{Cite journal|title=An introduction to the dimer model|url=https://arxiv.org/abs/math/0310326v1|last=Kenyon|first=Richard|date=2003-10-20|language=en|journal=|access-date=2020-02-14|archive-date=2020-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20200214014524/https://arxiv.org/abs/math/0310326v1|dead-url=no}}</ref>

例如：

*<math> 2 \times n </math> [[格子]]：<math> Z_n</math>是[[斐波那契数列]] <ref>{{Cite web|title=A000045 - OEIS|url=https://oeis.org/A000045|accessdate=2020-02-13|work=oeis.org|archive-date=2016-06-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20160616135436/http://oeis.org/A000045|dead-url=no}}</ref>
*<math> m = n = 2k = 0, 2, 4, \ldots  </math>，可以使用[[普法夫值]]计算Z <ref>{{Cite web|title=A004003 - OEIS|url=https://oeis.org/A004003|accessdate=2020-02-13|work=oeis.org|archive-date=2019-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20191231214939/http://oeis.org/A004003|dead-url=no}}</ref>

若G是[[环面]]，则

<math> \lim_{m,n\to \infty}Z(m, n) / (mn) = C / \pi</math>。

其中Z依赖[[同调]]、C是[[卡塔兰常数]]。<ref name=":0" />[[File:Dominoes_tiling_8x8.svg|右|缩略图|[[疊蓆]]密鋪]]

== 阿兹特克钻石与北极圈现象 ==
Z也依赖格子的边界（参看{{Internal link helper/en|阿兹特克钻石|Aztec diamond}}）。<gallery>
File:Diamant azteque.svg|[[阿茲特克]]钻石（{{Internal link helper/en|Aztec diamond|Aztec diamond}}）密鋪，有1024个密鋪
File:Diamant azteque plein.svg|一个可能的密鋪
</gallery>阿兹特克钻石表示所谓的「[[北极圈]]的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（[[冰冻]]地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。<ref name=":0" /><ref name=":3" />

这些文章有更多阿兹特克图：<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":3" />

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html{{Wayback|url=http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html |date=20150706021514 }}

== 高度函数 ==
一个密铺定义一个0[[微分形式]]（函数）：

<math>s(v) = \pm 1</math>

s是[[自旋]]（参看[[易辛模型]]）、v是[[顶点]]。那么可以定义一个[[1-形式]]：

<math>ds(e=uv) = s(u) - s(v) = \pm 2 </math>

这个形式是[[闭形式]]。注意上面的形式不等于0因为G是[[二分图]]。也定义密铺函数

<math>\delta(e) = 0, 1 </math>

若双体e存在，<math>\delta(e) = 1</math>，不然等于0。'''高度差函数'''是<ref name=":0" />

<math>dh(e) = h(u) - h(v) = (1+\delta(e))ds(e) = \pm 3 </math>

这个函数定义一个<math>\Z^2 \to \Z </math>的随机函数。这也是闭形式。的确[[威廉·瑟斯顿]]表示了若<math>\delta(e) </math>真的是密铺函数，这是一个[[必要条件]]。h是'''高度函数'''。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。<ref name=":0" />的确，CKP定理<ref name=":0" />说h最小化一个[[熵]]（或[[热力学自由能]]）的[[泛函]]（[[变分法]]）：

<math>F = \log Z </math>

== 共形场论 ==
{{Main|共形场论}}

=== 高斯自由场 ===
双体模型的[[缩放极限]]（即高度函数的缩放极限是高斯自由场）<ref name=":0" />，高斯自由场是一种二维[[布朗运动]]。所以<math>h(x) \to \phi(x)</math>成为二维[[纯量场]]。

若G是一定的[[加权图]]，<ref name=":0" />K的[[缩放极限]]是反[[全纯导数]] <math> \bar{\partial}</math>。<ref name=":2" /> 若

<math>Kf = f(w+1) - f(w-1) + if(w+i) - if(w-i)= 0</math>

f是“反[[全纯函数]]”。再说 f 是[[调和函数]]（[[和谐]]函数）。这是因为<math>KK^* = L</math>是[[调和矩阵]]（harmonic matrix）。<ref name=":0" />

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个[[心脏线]]：<ref name=":2" />（跟[[代数几何]]有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似[[伯格斯方程]]（<math>\phi_x - \phi \phi_y = 0</math>）的[[椭圆型偏微分方程]]。这些极限形可以相似[[极小曲面]]的[[魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化]]。<ref name=":2" />

=== 传播子 ===
[[邻接矩阵]]的[[反函数]]<math>K^{-1}(x, y)</math>是一种[[格林函数]]。

<math>D(x, y) = \langle h(x) h(y) \rangle</math>

是[[传播子]]（[[量子场论]]）。<ref name=":0" /> 可以表示这等于[[狄利克雷问题]]的核子

<math>D(u, v) = -\frac{1}{2\pi} \log(v-u)</math>

<math>d_u D(u, v) = \frac{1}{2\pi} (\frac{du}{v-u} - \frac{d\bar{u}}{v-\bar{u}})</math>

由于[[维克定理]]，<ref name=":0" />

<math>\langle h(x_1)\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum_{\text{对 }} D(x_{i_1}x_{i_2}) \ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})</math>
== 相关条目 ==
其他骨牌模型

*[[双体]]，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
*[[疊蓆]]，[[日本]]式的骨牌密铺
*[[肢解國際象棋盤問題]]
*[[王氏砖]]
*{{le|量子双体模型|Quantum_dimer_models}}
*[[平面图]]

[[量子场论]]

*[[高斯自由场]]
*[[玻茨模型]]
*[[渗流理论]]
*[[相变]]<ref name=":2" />、[[临界现象]]
* Fisher格子：参看[[韩文]]版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95<nowiki/>）<ref name=":1" />

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 阅读 ==

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* ''F. Faase.'' On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
* ''J. L. Hock, R. B. McQuistan.'' A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
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* ''Richard Kenyon.'' Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — <nowiki>ISBN 0-8218-2629-8</nowiki>.
* ''Richard Kenyon, Andrei Okounkov.'' What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
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* ''Frank Ruskey, Jennifer Woodcock.'' Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
* ''James A. Sellers.'' Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2..
* ''Richard P. Stanley.'' On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3.
* ''W. P. Thurston.''（[[威廉·瑟斯顿]]）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
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* Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", ''Combinatorial algorithms'', Lecture Notes in Comput. Sci., '''8288''', Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068

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