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在[[数值分析]]这个[[数学]]分支中，'''双三次插值'''（{{lang-en|Bicubic interpolation}}）是[[二维]]空间中最常用的[[插值]]方法。在这种方法中，[[函数]] ''f'' 在点 (''x'', ''y'') 的值可以通过[[矩形]][[网格]]中最近的十六个采样点的[[加权平均]]得到，在这里需要使用两个[[多项式插值]][[三次函数]]，每个方向使用一个。

==属性==

通过双三次插值可以得到一个连续的插值函数，它的一阶偏导数连续，并且交叉导数处处连续。

==公式==

[[Image:Interpolation-bicubic.svg|thumb|right|Bicubic interpolation on the square <math>[0,4] \times [0,4]</math> consisting of 25 unit squares patched together. Bicubic interpolation as per [[Matplotlib]]'s implementation. Colour indicates function value. The black dots are the locations of the prescribed data being interpolated. Note how the color samples are not radially symmetric.]]
[[Image:Interpolation-bilinear.svg|thumb|right|[[Bilinear interpolation]] on the same dataset as above. Derivatives of the surface are not continuous over the square boundaries.]]
[[Image:Interpolation-nearest.svg|thumb|right|[[Nearest-neighbor interpolation]] on the same dataset as above.]]

双三次插值通过下式进行计算：

:<math>p(x,y) = \sum\limits_{i=0}^3 \sum_{j=0}^3 a_{ij} x^i y^j.</math>

或者用展开的形式，
<math>a_{00} + a_{10} x + a_{01} y + a_{20} x^2 + a_{11} x y + a_{02} y^2 + a_{21} x^2 y + a_{12} x y^2 + a_{22} x^2 y^2 + a_{30} x^3 + a_{03} y^3 + a_{31} x^3 y + a_{13} x y^3 + a_{32} x^3 y^2 + a_{23} x^2 y^3 + a_{33} x^3 y^3</math>


计算系数 <math>a_{ij}</math> 的过程依赖于插值数据的特性。如果已知插值函数的导数，常用的方法就是使用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数 <math>h' x</math> 与 <math>h' y</math> 表示 x 与 y 方向的表面斜率，二阶相互导数 <math>h'' xy</math> 表示同时在 x 与 y 方向的斜率。这些值可以通过分别连续对 x 与 y 向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标（0,0, 1,0, 0,1 和 1,1) 带入这些方程，再解这 16 个方程。

==在计算机图形学中的应用==

双三次插值算法经常用于图像或者影片的缩放，它能比占主导地位的[[双线性滤波]]算法保留更好的细节品质。

==参见==
* [[反鋸齒]]
* [[立方埃尔米特样条]]，一维空间中的类似形式
* [[双线性插值]]
* [[样条插值]]
* [[抗混叠]]
* [[Sinc滤波器]]
* [[Lanczos resampling]]

==外部链接==

* [https://web.archive.org/web/20051024202307/http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/082/gc_082.htm Application of interpolation to elevation samples]

[[Category:图像处理]]
[[Category:插值论]]