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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Parametric.png|thumb|用参数方程可以很容易表示出的[[蝶形线]]]]
'''參數方程'''（{{Lang-en|Parametric equation}}）和[[函數]]相似，都是由一些在指定的[[集合 (数学)|集合]]的[[數]]，稱為[[參數]]或[[自變數]]，以決定[[因變數]]的結果。例如在[[運動學]]，參數通常是「[[時間]]」，而方程的結果是[[速度]]、位置等。

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标<math>x</math>、<math>y</math>都是某个变数<math>t</math>的函数：

:<math>
\begin{cases}
x = f(t)\\
y = g(t)
\end{cases}
</math>

并且对于<math>t</math>的每一个允许的取值，由方程组确定的点<math>(x,y)</math>都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数<math>x</math>、<math>y</math>的变数<math>t</math>叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

== 例子 ==
<math>x = a \cos(t), y = a \sin(t)</math>，表示了[[平面 (数学)|平面]]上半徑為<math>a</math>、以原點為圓心的[[圓]]。在三維，加入<math>z=bt</math>，便是[[螺旋]]的圖形。這些式子可以表示成：

:<math>r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,</math>

如果有一個[[粒子]]，沿這個螺旋的路徑而行，直接[[微分]]上面的式子便會得到粒子的速度：

:<math>v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,</math>

及[[加速度]]：

:<math>a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,</math>

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如[[參數表面]]是兩個參數<math>(s,t)</math>或<math>(u,v)</math>的函數。

譬如一個圓柱：
:<math>r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (a \cos(u), a \sin(u), v)\,</math>



参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标<math>x</math>，<math>y</math>与时间<math>t</math>之间有函数关系<math>x=f(t)</math>，<math>y=g(t)</math>，这两个函数式中的变量<math>t</math>，相对于表示质点的几何位置的变量<math>x</math>，<math>y</math>来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量<math>x</math>，<math>y</math>及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量<math>x</math>，<math>y</math>间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

== 常见参数方程 ==
{{函數圖形
| title = <math>\begin{cases}x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}</math>
| start = -1.5
| end = 1.5
| sampling = 200
| width = 200
| height = 200
| min = -1.5
| max = 1.5|cos(t);sin(t);t;0;6.28
| caption = 圓形參數方程在<math>r=1</math>的情形。
}}
*[[直线]]：
**点斜式过<math>(x_0, y_0)</math>，[[斜率]]为<math>m</math>的直线: <math>\begin{cases}x = x_0 + t \\ y = y_0 + mt \end{cases}</math>
**点向式过<math>(x_0, y_0)</math>, 方向[[向量]]为<math>(u, v)</math>的直线：<math>\begin{cases}x = x_0 + ut \\ y = y_0 + vt \end{cases}</math>
*[[圆]]：<math>\begin{cases}x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}</math>
*[[椭圆]]：<math>\begin{cases}x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}</math>
*[[双曲线]]：<math>\begin{cases}x = a \sec t \\ y = b \tan t \end{cases}</math>
*[[抛物线]]：<math>\begin{cases}x = 2ct\\ y = t^2 \end{cases}</math>
*[[螺线]]：<math>\begin{cases}x = t \cos lt \\ y = t \sin lt \end{cases} </math>
*[[摆线]]：<math>\begin{cases}x = r \cdot \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \cdot \left ( 1 - \cos t \right ) \end{cases}</math>

注：上文中的<math>a, b, c, h, k, l, m, p, r, x_0, y_0,u ,v</math>为已知数，<math>t</math>都为参数，<math>x</math>，<math>y</math>为变量

== 參見 ==
* [[隱方程]]
* [[極坐標系]]

[[Category:多变量微积分]]
[[Category:方程]]